Рассчитайте углы в треугольнике.

Решение:

Дан треугольник \( △ ABC \). Известно, что \( △ ADC \) — прямоугольный, \( ∠ C = 80^{\circ} \) и \( ∠ CAD = 10^{\circ} \).

1. В прямоугольном треугольнике \( △ ADC \) сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \). Следовательно, \( ∠ A \) (угол \( ∠ CAD \)) равен \( 90^{\circ} - ∠ C = 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ} \).
2. Из рисунка видно, что \( ∠ BAC = 10^{\circ} \) и \( ∠ BAD = 40^{\circ} \).
3. Для нахождения угла \( ∠ ABD \) вычтем из \( ∠ BAD \) угол \( ∠ BAC \): \( ∠ ABD = ∠ BAD - ∠ BAC = 40^{\circ} - 10^{\circ} = 30^{\circ} \).
4. В треугольнике \( △ ABD \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Известны \( ∠ BAD = 40^{\circ} \) и \( ∠ ABD = 30^{\circ} \). Найдем \( ∠ ADB \): \( ∠ ADB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 30^{\circ} = 110^{\circ} \).

Ответ: ∠ A = 10^{\(\circ\)}, ∠ ABD = 30^{\(\circ\)}, ∠ ADB = 110^{\(\circ\)}.