Рассматривается модель У = a1 + а2X + е (где: У — зависимая переменная; Х — регрессор; а1, а2 — параметры модели; е — случайный фактор). Оценка по методу наименьших квадратов (МНК): Y' = a1 + a2Х, а2 > 0. Можно ли утверждать, что У растет с ростом Х в истинной модели?

Решение:

В регрессионном анализе, когда мы хотим узнать, растет ли зависимая переменная \( Y \) с ростом независимой переменной \( X \), мы проверяем гипотезу о коэффициенте при \( X \), то есть \( a2 \).

Если \( a2 \) положителен, это означает, что с увеличением \( X \) значение \( Y \) также увеличивается. Если \( a2 \) отрицателен, то \( Y \) уменьшается с ростом \( X \).

Чтобы утверждать, что \( Y \) растет с ростом \( X \) в истинной модели, нам нужно проверить статистическую значимость \( a2 \) и убедиться, что он положителен.

• Проверка правосторонней гипотезы Н0: \( a2 = 0 \), Н1: \( a2 > 0 \): Если мы отвергаем нулевую гипотезу \( H0 \) в пользу альтернативной \( H1 \), это означает, что \( a2 \) статистически значимо больше нуля. В этом случае мы можем утверждать, что \( Y \) растет с ростом \( X \).
• Значимость коэффициента \( a2 \): Сам по себе факт, что оценка \( a2 > 0 \), еще не гарантирует, что этот рост статистически значим. Требуется статистическая проверка.

Таким образом, утверждение, что \( Y \) растет с ростом \( X \), верно, если мы отвергаем нулевую гипотезу \( H0 \) о том, что \( a2 = 0 \) в пользу альтернативной \( H1 \), что \( a2 > 0 \), то есть если \( a2 \) статистически значимо положителен.

Правильный вариант: Да, если при проверке правосторонней гипотезы Н0: \( a2 = 0 \), Н1: \( a2 > 0 \). Н0 отвергается.