Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те числа, в записи которых каждая цифра больше предыдущей, и те числа, в записи которых каждая цифра меньше предыдущей. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Давай разберемся с этой задачей пошагово!

1. Числа, где каждая цифра больше предыдущей.

Это трехзначные числа, где первая цифра меньше второй, а вторая меньше третьей. Например, 123, 457, 689.

Смотри, как мы можем посчитать их количество:

• Выбор цифр: Нам нужно выбрать 3 разные цифры из 10 (от 0 до 9).
• Уникальный набор: Как только мы выбрали 3 цифры, из них можно составить только одно такое число. Почему? Потому что цифры должны идти строго по возрастанию. Например, если мы выбрали 3, 5, 8, то единственное число — это 358.
• Исключение нуля: Первая цифра не может быть нулем (иначе число не будет трехзначным). Поэтому мы должны посчитать все комбинации из 3 цифр и вычесть те, где первой идет 0.
• Расчет:
• Общее количество способов выбрать 3 цифры из 10: Это сочетания $$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$.
• Числа, где первая цифра 0: Если первая цифра 0, то нам нужно выбрать еще 2 цифры из оставшихся 9 (от 1 до 9) так, чтобы они были больше 0. Это $$C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$$. Но в нашем случае, если первая цифра 0, то вторая и третья тоже должны быть больше 0. Например, 012, 035. Это комбинации вида 0XY, где X > 0 и Y > X. Если мы выбрали 3 цифры, и одна из них 0, то 0 может быть только первой цифрой. Таким образом, если мы выбрали 3 цифры, и одна из них 0, то 0 будет первой цифрой. Нам нужно посчитать, сколько таких троек с нулем: $$C(9, 2) = 36$$ (выбираем 2 цифры из 9, и 0 будет первой).
• Точное количество: Количество чисел, где цифры идут по возрастанию, равно $$C(10, 3) - C(9, 2) = 120 - 36 = 84$$.

2. Числа, где каждая цифра меньше предыдущей.

Это трехзначные числа, где первая цифра больше второй, а вторая больше третьей. Например, 321, 754, 980.

Посчитаем их:

• Выбор цифр: Снова выбираем 3 разные цифры из 10.
• Уникальный набор: Как только мы выбрали 3 цифры, из них можно составить только одно такое число. Например, если мы выбрали 7, 5, 2, то единственное число — это 752.
• Первая цифра не 0: Здесь нет проблем с нулем, потому что самая большая цифра будет первой, а 0 может быть последней.
• Расчет: Количество таких чисел равно общему количеству способов выбрать 3 цифры из 10, что составляет $$C(10, 3) = 120$$.

3. Разность между количествами.

У нас есть 120 чисел, где каждая цифра меньше предыдущей, и 84 числа, где каждая цифра больше предыдущей.

Разность: $$120 - 84 = 36$$.

Ответ: 36