Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те, у которых средняя цифра меньше обеих крайних, и те, у которых средняя цифра больше обеих крайних. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Решение:

Давай разберемся с этими числами по порядку.

1. Первое множество: числа, где средняя цифра МЕНЬШЕ обеих крайних.
• Разберем трехзначные числа от 100 до 999.
• Первая цифра (сотни): Может быть от 1 до 9 (9 вариантов).
• Средняя цифра (десятки): Она должна быть меньше первой и третьей.
• Третья цифра (единицы): Может быть от 0 до 9.

Проще всего посчитать такие числа, перебирая первую цифру:

• Если первая цифра 1: средняя цифра может быть только 0. Третья цифра должна быть больше 0 (1, 2, ..., 9) — 9 чисел.
• Если первая цифра 2: средняя цифра может быть 0 или 1. Если средняя 0, третья > 0 (9 чисел). Если средняя 1, третья > 1 (2, ..., 9) — 8 чисел. Всего 9 + 8 = 17 чисел.
• Если первая цифра 3: средняя 0, 1, 2. Третья > средней. 9 + 8 + 7 = 24 числа.
• ...
• Если первая цифра 9: средняя 0, 1, ..., 8. Третья > средней. 9+8+...+1 = 45 чисел.

Это сложный подсчет. Давай попробуем по-другому:

Всего трехзначных чисел: 999 - 100 + 1 = 900 чисел.

Рассмотрим цифры:

• Первое число (ABC): A ∈ [1, 9], B ∈ [0, 9], C ∈ [0, 9].
• Условие 1: B < A и B < C.
• Условие 2: B > A и B > C.

Для Условия 1 (B < A и B < C):

Это означает, что средняя цифра должна быть самой маленькой. Посчитаем, сколько таких чисел.

Можно заметить, что если мы выберем три разные цифры, то из них можно составить 3! = 6 перестановок. В одном наборе перестановок средняя цифра будет самой маленькой, в другом — самой большой.

Рассмотрим комбинации цифр:

Пусть мы выбрали 3 уникальные цифры. Например, 1, 2, 3. Возможные числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321. В этом случае у нас есть:

• B < A и B < C: 213, 312
• B > A и B > C: 132, 231

Попробуем посчитать общее количество чисел, где средняя цифра меньше обеих крайних.

Для чисел вида 'aba' (где средняя цифра равна одной из крайних), они не подходят под условие