Рассматриваются два множества трёхзначных чисел: те, у которых средняя цифра меньше обеих крайних, и те, у которых средняя цифра больше обеих крайних. Найдите разность между количествами этих чисел (из большего необходимо вычесть меньшее).

Решение:

Привет! Давай разберем эту задачку по шагам.

У нас есть трехзначные числа, то есть числа от 100 до 999. Всего таких чисел 900 (999 - 100 + 1 = 900).

Число будем записывать как ABC, где:

• A — цифра сотен (может быть от 1 до 9).
• B — цифра десятков (может быть от 0 до 9).
• C — цифра единиц (может быть от 0 до 9).

Первое множество: Числа, где средняя цифра меньше обеих крайних (B < A и B < C).

Второе множество: Числа, где средняя цифра больше обеих крайних (B > A и B > C).

Давай посчитаем, сколько чисел в первом множестве (B < A и B < C):

Будем перебирать возможные значения для средней цифры B:

• Если B = 0:
• A может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов).
• C может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов).
• Всего: 9 * 9 = 81 число.
• Если B = 1:
• A может быть любой цифрой от 2 до 9 (8 вариантов).
• C может быть любой цифрой от 2 до 9 (8 вариантов).
• Всего: 8 * 8 = 64 числа.
• Если B = 2:
• A может быть любой цифрой от 3 до 9 (7 вариантов).
• C может быть любой цифрой от 3 до 9 (7 вариантов).
• Всего: 7 * 7 = 49 чисел.
• ...
• Если B = 8:
• A может быть только 9 (1 вариант).
• C может быть только 9 (1 вариант).
• Всего: 1 * 1 = 1 число.

Теперь сложим все эти варианты:

Количество чисел в первом множестве = 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 285 чисел.

Теперь посчитаем, сколько чисел во втором множестве (B > A и B > C):

Будем перебирать возможные значения для средней цифры B:

• Если B = 1:
• A может быть только 0 (1 вариант). Но A не может быть 0, так как число трехзначное. Значит, 0 вариантов.
• C может быть только 0 (1 вариант).
• Всего: 0 * 0 = 0 чисел.
• Если B = 2:
• A может быть 0 или 1 (2 варианта).
• C может быть 0 или 1 (2 варианта).
• Всего: 2 * 2 = 4 числа.
• Если B = 3:
• A может быть 0, 1, 2 (3 варианта).
• C может быть 0, 1, 2 (3 варианта).
• Всего: 3 * 3 = 9 чисел.
• ...
• Если B = 9:
• A может быть от 0 до 8 (9 вариантов).
• C может быть от 0 до 8 (9 вариантов).
• Всего: 9 * 9 = 81 число.

Теперь сложим все эти варианты:

Количество чисел во втором множестве = 0 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285 чисел.

Отлично! Оба множества имеют одинаковое количество чисел.

Разность между количествами этих чисел: 285 - 285 = 0.

Ответ: 0