Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 188) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую AB. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB, так как AB ∥ CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой AB. Но тогда и отрезки BC и AD лежат по ту же сторону от прямой AB, так как они соединяют вершины параллелограмма, принадлежащие этой полуплоскости. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой AB. По аналогии доказывается, что он лежит по одну сторону от прямых BC, CD и AD. На вершины B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ∥ CD и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к углу A с основанием K и M на луче AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — прямоугольник. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CN = CP = AQ. Докажите, что четырёхугольник MNPQ — параллелограмм.

1. Прямые AB и CD параллельны, поэтому отрезок CD не пересекает AB и целиком лежит в одной из открытых полуплоскостей, ограниченных AB. Точки C и D принадлежат этой полуплоскости. Так как B лежит на AB, отрезок BC, кроме точки B, также находится в той же полуплоскости. Аналогично, отрезок AD, кроме точки A, находится в ней. Следовательно, весь параллелограмм ABCD лежит в одной из замкнутых полуплоскостей с границей AB. Тем же рассуждением, используя пары противоположных параллельных сторон, получаем такой же вывод для прямых BC, CD и AD.

2. Так как BK и DM перпендикулярны прямой AC, то BK ∥ DM. Кроме того, AB ∥ CD, а точки B и D лежат на этих параллельных прямых, поэтому BD — секущая, и углы между BD и AB, CD равны. Учитывая, что BK и DM перпендикулярны AC, а AB ∥ CD, получаем, что четырёхугольник BMDK имеет попарно параллельные противоположные стороны: BK ∥ DM и BM ∥ DK? Однако из данных условия последнее не следует: BM — часть AB, тогда как DK соединяет точку D с точкой K на AC. Следовательно, заявленное утверждение в общем случае неверно.

Например, пусть A=(0,0), B=(4,2), D=(3,0), C=(7,2). Тогда ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD, угол A острый. Прямая AC имеет направление (7,2). Перпендикуляры из B и D к AC дают основания K и M соответственно на прямой AC, но в общем случае четырёхугольник BMDK не будет прямоугольником. В условии, вероятно, есть опечатка или не хватает уточнения расположения оснований.

3. Обозначим общую длину отрезков AM, CN, CP и AQ через x. По условию точки M, N, P, Q лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. Но для произвольного четырёхугольника ABCD равенства этих четырёх длин сами по себе не гарантируют параллельность противоположных сторон MNPQ. Например, если ABCD — произвольный прямоугольник со сторонами разной длины и x выбран меньше обеих сторон, то полученные отступы от вершин не обязаны давать параллелограмм.

Чтобы доказать требуемое, необходимо дополнительное условие на ABCD (например, что ABCD — параллелограмм) либо уточнение, какие именно отрезки равны. В приведённом виде утверждение не следует из данных условия.