Рассмотрим произвольную прямую a и точку M, не лежащую на ней. Докажем, что через точку M можно провести прямую, параллельную прямой a. Для этого через точку M проведём прямую c, перпендикулярную к прямой a, а затем прямую b, перпендикулярную к прямой c. Так как прямые a и b перпендикулярны к прямой c, то они параллельны. Возникает вопрос: можно ли через точку M провести ещё одну прямую, параллельную прямой a? Можно ли доказать, что через точку M нельзя провести другую прямую, параллельную прямой a?

Построение доказывает существование прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой a.

Единственность этой прямой не доказывается из ранее рассмотренных свойств и принимается как аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Следовательно, через точку M проходит единственная прямая b, параллельная прямой a. Утверждение о невозможности провести через M другую параллельную прямую является не теоремой, а аксиомой.

Ответ: через точку M можно провести только одну прямую, параллельную прямой a; это аксиома параллельных прямых.