Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором к гипотенузе провели высоту СН. Докажи, что треугольники ДАВС ~ △ACH ~ ДСВ Н. Получи формулы: 1 AC2 = АН· 2 BC2 = BH. 3 CH2 = AH.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с высотой CH, проведенной к гипотенузе. Нам нужно получить формулы, связывающие стороны и отрезки гипотенузы.

1. Для первого выражения $$AC^2 = AH \cdot $$, рассмотрим подобные треугольники. В прямоугольном треугольнике ABC высота CH делит его на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному: ACH и CBH. Из подобия треугольников следует несколько важных соотношений.

Треугольники ΔABC и ΔACH подобны (по двум углам). Следовательно, можно записать пропорцию:

$$\frac{AC}{AH} = \frac{AB}{AC}$$ Отсюда:

$$AC^2 = AH \cdot AB$$ Таким образом, пропущенное выражение — AB.

2. Для второго выражения $$BC^2 = BH \cdot $$, рассмотрим подобные треугольники. Треугольники ΔABC и ΔCBH подобны (по двум углам). Следовательно, можно записать пропорцию:

$$\frac{BC}{BH} = \frac{AB}{BC}$$ Отсюда:

$$BC^2 = BH \cdot AB$$ Таким образом, пропущенное выражение — AB.

3. Для третьего выражения $$CH^2 = AH \cdot $$, рассмотрим подобные треугольники. Треугольники ΔACH и ΔCBH подобны (по двум углам). Следовательно, можно записать пропорцию:

$$\frac{CH}{AH} = \frac{BH}{CH}$$ Отсюда:

$$CH^2 = AH \cdot BH$$ Таким образом, пропущенное выражение — BH.

Ответ:

1. $$AC^2 = AH \cdot \textbf{AB}$$
2. $$BC^2 = BH \cdot \textbf{AB}$$
3. $$CH^2 = AH \cdot \textbf{BH}$$