Рассмотрите графики плотности двух нормально распределённых случайных величин А и В (рис. 172). Какие из следующих высказываний истинны, а какие — ложны? 1) m_A > m_B. 2) σ_A < σ_B. 3) Множества значений случайных величин А и В одинаковы. 4) Множества значений функций плотности вероятности случайных величин А и В одинаковы.

Решение:

На графике видно, что вершина кривой, соответствующей случайной величине А, находится левее вершины кривой, соответствующей случайной величине В. Это означает, что математическое ожидание (среднее значение) для А меньше, чем для В. Математическое ожидание нормального распределения соответствует точке максимума функции плотности вероятности. Таким образом, \( m_A < m_B \).

Ширина кривых, характеризующая разброс значений, для А больше, чем для В. Более широкая кривая соответствует большей стандартной отклонению ( \( σ \) ). Следовательно, \( σ_A > σ_B \).

Множества значений случайных величин А и В теоретически могут быть одинаковыми, но графики показывают, что разброс у А больше, а среднее значение меньше. Однако, нормальное распределение определено на всей числовой оси, поэтому множества значений для обоих распределений — вся числовая ось \( (-\infty, +\infty) \), что делает их одинаковыми.

Функции плотности вероятности двух разных нормально распределенных случайных величин, если их математические ожидания и стандартные отклонения отличаются, не могут быть одинаковыми. Графики четко показывают различия.

Анализ высказываний:

1. \( m_A > m_B \) — ложно (по графику \( m_A < m_B \)).
2. \( σ_A < σ_B \) — ложно (по графику \( σ_A > σ_B \)).
3. Множества значений случайных величин А и В одинаковы — истинно (оба распределения определены на \( (-\infty, +\infty) \)).
4. Множества значений функций плотности вероятности случайных величин А и В одинаковы — ложно (графики и значения \( m \) и \( σ \) различны).

Ответ: Истинные высказывания: 3. Ложные высказывания: 1, 2, 4.