1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь \(\frac{a}{b}\). (Оде учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числи меньше знаменателя, а другому – дроби, у которых числи больше знаменателя.) 2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажит потезу для каждого случая. 3) Проведите доказательство: один – для случая а < b, гой – для случая a > b. 4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений. 847. Докажите, что при а > 0 верно неравенство \(\frac{a+2}{a} - 2 \ge 2 - \frac{a+2}{2}\). 249 Покажите, что сумма любого положительного числа

Ответ: доказательство неравенства при a > 0 приведено ниже.

Преобразуем данное неравенство, чтобы доказать, что оно верно при \( a > 0 \).

1. Шаг 1: Перенесем все члены в левую часть неравенства:

   \[\frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} \ge 0\]

2. Шаг 2: Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен \( 2a \):

   \[\frac{2(a+2) - 4a + a(a+2)}{2a} \ge 0\]

3. Шаг 3: Раскроем скобки в числителе:

   \[\frac{2a+4 - 4a + a^2 + 2a}{2a} \ge 0\]

4. Шаг 4: Упростим числитель:

   \[\frac{a^2 + 4}{2a} \ge 0\]

5. Шаг 5: Анализ полученного выражения:

   • Числитель \( a^2 + 4 \) всегда положителен, так как \( a^2 \) неотрицателен (квадрат любого числа неотрицателен), и к нему прибавляется положительное число 4.

   • Знаменатель \( 2a \) положителен, так как по условию \( a > 0 \).

6. Шаг 6: Так как и числитель, и знаменатель положительны, то вся дробь положительна:

   \[\frac{a^2 + 4}{2a} > 0\]

7. Вывод: Исходное неравенство \(\frac{a+2}{a} - 2 \ge 2 - \frac{a+2}{2}\) верно при \( a > 0 \), так как после преобразований мы получили выражение, которое всегда положительно при \( a > 0 \).

Ответ: доказательство неравенства при a > 0 приведено выше.