Расставим порядок действий в выражении.

Решение:

Для правильного решения выражения необходимо соблюдать порядок выполнения действий:

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление (слева направо).
3. Сложение и вычитание (слева направо).

Задание:

\( \left( 8\frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) : 3\frac{1}{2} : \left( \left( 5 - 4\frac{2}{5} \right)^3 \cdot 10 \right) + \left( 3\frac{1}{8} - 1\frac{7}{8} \right)^9 \cdot 1\frac{3}{5} : 10 \)

Шаг 1: Действия в первой паре скобок.

\( 8\frac{1}{4} - \frac{1}{8} = 8\frac{2}{8} - \frac{1}{8} = 8\frac{1}{8} \)

Шаг 2: Действия во второй паре скобок.

\( 5 - 4\frac{2}{5} = 4\frac{5}{5} - 4\frac{2}{5} = \frac{3}{5} \)

\( \left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125} \)

\( \frac{27}{125} \cdot 10 = \frac{27 \cdot 10}{125} = \frac{270}{125} = \frac{54}{25} \)

Шаг 3: Действия в третьей паре скобок.

\( 3\frac{1}{8} - 1\frac{7}{8} = 2\frac{9}{8} - 1\frac{7}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4} \)

Шаг 4: Деление в первом выражении.

\( 8\frac{1}{8} : 3\frac{1}{2} = \frac{65}{8} : \frac{7}{2} = \frac{65}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{65 \cdot 2}{8 \cdot 7} = \frac{65}{4 \cdot 7} = \frac{65}{28} \)

Шаг 5: Деление в первом выражении.

\( \frac{65}{28} : \frac{54}{25} = \frac{65}{28} \cdot \frac{25}{54} = \frac{1625}{1512} \)

Шаг 6: Возведение в степень и умножение во втором выражении.

\( \left( 1\frac{1}{4} \right)^9 \cdot 1\frac{3}{5} \)

Обратите внимание: возведение \( \left( 1\frac{1}{4} \right)^9 \) в степень 9 приведет к очень большому числу, и дальнейшие вычисления без калькулятора крайне сложны. Предположительно, в условии могла быть опечатка, например, степень 2 или 3. Если степень верна, решение продолжается как ниже.

\( \left( \frac{5}{4} \right)^9 \cdot \frac{8}{5} = \frac{5^9}{4^9} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5^8 \cdot 8}{4^9} = \frac{5^8 \cdot 2^3}{(2^2)^9} = \frac{5^8 \cdot 2^3}{2^{18}} = \frac{5^8}{2^{15}} \)

Шаг 7: Деление во втором выражении.

\( \frac{5^8}{2^{15}} : 10 = \frac{5^8}{2^{15}} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5^8}{2^{15} \cdot 2 \cdot 5} = \frac{5^7}{2^{16}} \)

Шаг 8: Сложение результатов.

\( \frac{1625}{1512} + \frac{5^7}{2^{16}} \)

Дальнейшие вычисления без калькулятора или уточнения условия (особенно степени 9) нецелесообразны.

Ответ: Учитывая сложность вычислений с 9-й степенью, результат выражения: \( \frac{1625}{1512} + \frac{5^7}{2^{16}} \).