Ответ:

  1. Учитель сказал, что сегодня мы будем писать контрольную работу.

    Запятая отделяет придаточную часть с союзом «что».

  2. Я спросил у друга: «Ты пойдёшь гулять?»

    Перед прямой речью после слов автора ставится двоеточие.

  3. Мама сказала: «Купи молоко и хлеб».

    Перед прямой речью ставится двоеточие.

  4. «Как же здорово!» — воскликнула Катя, когда увидела радугу.

    Прямая речь стоит перед словами автора; запятая отделяет придаточную часть времени.

  5. Ребята закричали: «Давайте играть в футбол!»

    Перед прямой речью ставится двоеточие; восклицательный знак ставится внутри кавычек.