480. Расстояние 400 км скорый поезд прошёл на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?

Для решения этой задачи нужно:

1. Обозначить неизвестные величины.
2. Составить уравнения, используя формулу: расстояние = скорость × время.
3. Решить систему уравнений, чтобы найти скорости поездов.

Решение:

1. Обозначим скорость скорого поезда как $$v$$ км/ч. Тогда скорость товарного поезда будет $$(v - 20)$$ км/ч.
2. Время, которое скорый поезд затратил на путь, равно $$\frac{400}{v}$$ ч. Время, которое товарный поезд затратил на путь, равно $$\frac{400}{v-20}$$ ч.
3. Составим уравнение на основе условия, что скорый поезд прошёл расстояние на 1 час быстрее товарного: $$\frac{400}{v-20} - \frac{400}{v} = 1$$
4. Решим уравнение:
   1. Умножим обе части уравнения на $$v(v-20)$$: $$400v - 400(v-20) = v(v-20)$$ $$400v - 400v + 8000 = v^2 - 20v$$ $$v^2 - 20v - 8000 = 0$$
   2. Решим квадратное уравнение:

      $$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, где $$a = 1$$, $$b = -20$$, $$c = -8000$$

      $$v = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000)}}{2 \cdot 1}$$ $$v = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 32000}}{2}$$ $$v = \frac{20 \pm \sqrt{32400}}{2}$$ $$v = \frac{20 \pm 180}{2}$$ $$v_1 = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$$ $$v_2 = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$$
   3. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение: $$v = 100$$ км/ч.
   4. Тогда скорость товарного поезда: $$v - 20 = 100 - 20 = 80$$ км/ч.

Ответ: Скорость скорого поезда 100 км/ч, скорость товарного поезда 80 км/ч.