Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Решение:

Пусть \( v_t \) — скорость товарного поезда (км/ч), а \( v_e \) — скорость экспресса (км/ч).

Расстояние \( S = 700 \) км.

Время движения товарного поезда: \( t_t = \frac{S}{v_t} = \frac{700}{v_t} \) часа.

Время движения экспресса: \( t_e = \frac{S}{v_e} = \frac{700}{v_e} \) часа.

По условию, экспресс проходит расстояние на 4 часа быстрее товарного поезда, значит \( t_t - t_e = 4 \).

Также известно, что скорость экспресса больше скорости товарного поезда на 20 км/ч, то есть \( v_e = v_t + 20 \).

Подставим \( v_e \) в уравнение времени:

\( \frac{700}{v_t} - \frac{700}{v_t + 20} = 4 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{700(v_t + 20) - 700v_t}{v_t(v_t + 20)} = 4 \)

\( \frac{700v_t + 14000 - 700v_t}{v_t^2 + 20v_t} = 4 \)

\( \frac{14000}{v_t^2 + 20v_t} = 4 \)

\( 14000 = 4(v_t^2 + 20v_t) \)

\( 14000 = 4v_t^2 + 80v_t \)

Разделим на 4:

\( 3500 = v_t^2 + 20v_t \)

\( v_t^2 + 20v_t - 3500 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{14400} = 120 \)

Найдем \( v_t \):

\( v_{t1} = \frac{-20 + 120}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50 \)

\( v_{t2} = \frac{-20 - 120}{2 \cdot 1} = \frac{-140}{2} = -70 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_t = 50 \) км/ч.

Теперь найдём скорость экспресса:

\( v_e = v_t + 20 = 50 + 20 = 70 \) км/ч.

Проверка:

Время товарного поезда: \( t_t = \frac{700}{50} = 14 \) часов.

Время экспресса: \( t_e = \frac{700}{70} = 10 \) часов.

Разница во времени: \( 14 - 10 = 4 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость товарного поезда 50 км/ч, скорость экспресса 70 км/ч.