Расстояние между двумя пунктами по реке равно 2 км. Лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Дано:

• Расстояние в одну сторону: S = 2 км.
• Общее время в пути: t_общ = 1 ч 30 мин = 1.5 ч.
• Скорость течения реки: v_тек = 1 км/ч.

Найти:

• Скорость лодки в стоячей воде: v_лод.

Решение:

1. Скорость лодки по течению:\[ v_{ ext{по теч}} = v_{ ext{лод}} + v_{ ext{тек}} \]
2. Скорость лодки против течения:\[ v_{ ext{против теч}} = v_{ ext{лод}} - v_{ ext{тек}} \]
3. Время в пути по течению:\[ t_{ ext{по теч}} = \frac{S}{v_{ ext{по теч}}} = \frac{2}{v_{ ext{лод}} + 1} \]
4. Время в пути против течения:\[ t_{ ext{против теч}} = \frac{S}{v_{ ext{против теч}}} = \frac{2}{v_{ ext{лод}} - 1} \]
5. Общее время:\[ t_{ ext{общ}} = t_{ ext{по теч}} + t_{ ext{против теч}} \]
6. Подставляем известные значения:\[ 1.5 = \frac{2}{v_{ ext{лод}} + 1} + \frac{2}{v_{ ext{лод}} - 1} \]
7. Приводим к общему знаменателю:\[ 1.5 = \frac{2(v_{ ext{лод}} - 1) + 2(v_{ ext{лод}} + 1)}{(v_{ ext{лод}} + 1)(v_{ ext{лод}} - 1)} \]
8. Упрощаем числитель:\[ 1.5 = \frac{2v_{ ext{лод}} - 2 + 2v_{ ext{лод}} + 2}{v_{ ext{лод}}^2 - 1} \]
9. Упрощаем дальше:\[ 1.5 = \frac{4v_{ ext{лод}}}{v_{ ext{лод}}^2 - 1} \]
10. Переносим всё в одну сторону и умножаем:\[ 1.5(v_{ ext{лод}}^2 - 1) = 4v_{ ext{лод}} \]
11. Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:\[ 1.5v_{ ext{лод}}^2 - 1.5 = 4v_{ ext{лод}} \]
12. Переносим все члены в левую часть:\[ 1.5v_{ ext{лод}}^2 - 4v_{ ext{лод}} - 1.5 = 0 \]
13. Умножаем на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:\[ 3v_{ ext{лод}}^2 - 8v_{ ext{лод}} - 3 = 0 \]
14. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-3) = 64 + 36 = 100 \]
15. Находим корни:\[ v_{ ext{лод}} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
16. Первый корень:\[ v_{ ext{лод}1} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2(3)} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
17. Второй корень:\[ v_{ ext{лод}2} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2(3)} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
18. Выбираем положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 3 км/ч.