Расстояние между двумя пунктами по реке равно 48 км. Это расстояние теплоход проплывает по течению реки за 2 ч., а против течения — за 3 ч. Найди собственную скорость теплохода и скорость течения реки.

Решение:

Пусть $$v_т$$ — собственная скорость теплохода, а $$v_р$$ — скорость течения реки.

Когда теплоход плывет по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $$v_{по \_течению} = v_т + v_р$$.

Когда теплоход плывет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $$v_{против \_течения} = v_т - v_р$$.

Расстояние находится по формуле: расстояние = скорость × время.

1. По течению: Расстояние = 48 км, время = 2 ч. Скорость по течению: $$v_{по \_течению} = \frac{48 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 24$$ км/ч.
2. Против течения: Расстояние = 48 км, время = 3 ч. Скорость против течения: $$v_{против \_течения} = \frac{48 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 16$$ км/ч.
3. Составляем систему уравнений:
   • $$v_т + v_р = 24$$
   • $$v_т - v_р = 16$$
4. Решаем систему: Сложим два уравнения, чтобы исключить $$v_р$$: $$(v_т + v_р) + (v_т - v_р) = 24 + 16 \rightarrow 2v_т = 40 \rightarrow v_т = 20$$ км/ч.
5. Находим скорость течения: Подставим $$v_т = 20$$ км/ч в первое уравнение: $$20 + v_р = 24 \rightarrow v_р = 24 - 20 \rightarrow v_р = 4$$ км/ч.

Проверка:

• По течению: $$20 + 4 = 24$$ км/ч. $$24 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 48$$ км.
• Против течения: $$20 - 4 = 16$$ км/ч. $$16 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 48$$ км.

Ответ: собственная скорость теплохода — 20 км/ч, а скорость течения реки — 4 км/ч.