Расстояние между двумя железнодорожными станциями составляет 120 км. Первый поезд проходит это расстояние на 50 минут быстрее второго. Скорость первого поезда на 12 км/ч больше скорости второго. Определите скорость поездов.

Решение:

Обозначим скорость второго поезда как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого поезда будет \( v + 12 \) км/ч.

Время, затраченное вторым поездом на путь 120 км, равно \( t_2 = \frac{120}{v} \) часов.

Время, затраченное первым поездом на путь 120 км, равно \( t_1 = \frac{120}{v + 12} \) часов.

По условию, первый поезд проходит расстояние на 50 минут быстрее второго. Переведём 50 минут в часы: \( 50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6} \text{ ч} \).

Таким образом, \( t_2 - t_1 = \frac{5}{6} \).

Подставим выражения для времени:

\( \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 12} = \frac{5}{6} \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v+12) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 120(v + 12) - 120v = \frac{5}{6} v(v + 12) \)

\( 120v + 1440 - 120v = \frac{5}{6} (v^2 + 12v) \)

\( 1440 = \frac{5}{6} (v^2 + 12v) \)

Умножим обе части на \( \frac{6}{5} \):

\( 1440 \cdot \frac{6}{5} = v^2 + 12v \)

\( 288 \cdot 6 = v^2 + 12v \)

\( 1728 = v^2 + 12v \)

Приведём к квадратному уравнению:

\( v^2 + 12v - 1728 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 144 + 6912 = 7056 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-12 + 84}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36 \)

\( v_2 = \frac{-12 - 84}{2 \cdot 1} = \frac{-96}{2} = -48 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 36 \) км/ч.

Скорость первого поезда: \( v + 12 = 36 + 12 = 48 \) км/ч.

Проверка:

Время первого поезда: \( \frac{120}{48} = 2.5 \) часа.

Время второго поезда: \( \frac{120}{36} = 3.33... \) часа.

Разница во времени: \( 3.33... - 2.5 = 0.833... \) часа, что равно \( \frac{5}{6} \) часа или 50 минут.

Ответ: скорость первого поезда 48 км/ч, скорость второго поезда 36 км/ч.