Расстояние между городами А и В равно 120 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 36 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Пусть $$x$$ км – расстояние от А до С.

Автомобиль выехал первым, мотоциклист выехал через 36 минут, что составляет $$\frac{36}{60} = 0.6$$ часа.

Пусть $$v_a$$ – скорость автомобиля.

Время, которое ехал автомобиль до встречи с мотоциклистом: $$\frac{x}{v_a}$$

Время, которое ехал мотоциклист до встречи с автомобилем: $$\frac{x}{75}$$

Тогда: $$\frac{x}{v_a} - \frac{x}{75} = 0.6$$

$$\frac{x}{v_a} = \frac{x}{75} + 0.6$$ (1)

Когда мотоциклист проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В.

Время, которое мотоциклист ехал от С до середины АС: $$\frac{x/2}{75} = \frac{x}{150}$$

Время, которое автомобиль ехал от С до B: $$\frac{120 - x}{v_a}$$

Автомобиль ехал от А до С, потом от С до B: $$\frac{x}{v_a} + \frac{120 - x}{v_a}$$

Время, которое автомобиль ехал от A до B: $$\frac{120}{v_a}$$

Тогда: $$\frac{120}{v_a} = \frac{x}{150} + 0.6$$ (2)

Выразим $$v_a$$ из уравнения (1):

$$\frac{x}{v_a} = \frac{x}{75} + 0.6$$

$$v_a = \frac{x}{\frac{x}{75} + 0.6} = \frac{x}{\frac{x + 45}{75}} = \frac{75x}{x + 45}$$

Подставим $$v_a$$ в уравнение (2):

$$\frac{120}{\frac{75x}{x + 45}} = \frac{x}{150} + 0.6$$

$$\frac{120(x + 45)}{75x} = \frac{x + 90}{150}$$

$$\frac{8(x + 45)}{5x} = \frac{x + 90}{150}$$

$$\frac{8(x + 45)}{x} = \frac{x + 90}{30}$$

$$240(x + 45) = x(x + 90)$$

$$240x + 10800 = x^2 + 90x$$

$$x^2 - 150x - 10800 = 0$$

$$D = (-150)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10800) = 22500 + 43200 = 65700$$

$$x_1 = \frac{150 + \sqrt{65700}}{2} = \frac{150 + 10\sqrt{657}}{2} = 75 + 5\sqrt{657} \approx 202.7$$ (не подходит, т.к. больше 120)

$$x_2 = \frac{150 - \sqrt{65700}}{2} = \frac{150 - 10\sqrt{657}}{2} = 75 - 5\sqrt{657} \approx -52.7$$ (не подходит, т.к. меньше 0)

Условие (2) неверно. Заменим его:

Мотоциклист проехал половину пути от C до A, то есть $$\frac{x}{2}$$ км. Автомобиль за это время проехал 120 км.

Время, которое затратил мотоциклист: $$t_м = \frac{x}{150} + 0.6$$

Время, которое затратил автомобиль: $$t_a = \frac{120}{v_a}$$

Тогда: $$\frac{120}{v_a} = \frac{x}{150} + 0.6$$

$$\frac{120 \cdot (x + 45)}{75x} = \frac{x + 90}{150}$$

$$\frac{8 \cdot (x + 45)}{5x} = \frac{x + 90}{150}$$

$$\frac{8 \cdot (x + 45)}{x} = \frac{x + 90}{30}$$

$$240 \cdot (x + 45) = x(x + 90)$$

$$240x + 10800 = x^2 + 90x$$

$$x^2 - 150x - 10800 = 0$$

$$D = 150^2 + 4 \cdot 10800 = 22500 + 43200 = 65700$$

$$x_1 = \frac{150 + \sqrt{65700}}{2} = 75 + 5\sqrt{657} \approx 202.7$$ (не подходит)

$$x_2 = \frac{150 - \sqrt{65700}}{2} = 75 - 5\sqrt{657} \approx -52.7$$ (не подходит)

Решение:

Пусть $$x$$ (км) – расстояние от А до С.

Автомобиль выехал из А в В. Мотоциклист выехал из А через 36 минут и догнал автомобиль в С.

Время в пути автомобиля до встречи с мотоциклистом $$\frac{x}{v_a}$$

Мотоциклист догнал автомобиль через $$\frac{x}{75}$$ ч.

Разница во времени 36 минут, или $$\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$ часа.

$$\frac{x}{v_a} - \frac{x}{75} = \frac{3}{5}$$ (1)

Мотоциклист, догнав автомобиль в С, поехал обратно в А.

Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в B.

Мотоциклист проехал $$\frac{x}{2}$$ км. Время его в пути $$\frac{x}{2 \cdot 75}$$ ч.

Автомобиль в момент времени, когда мотоциклист проехал половину пути, уже прибыл в В, значит, он был в пути $$\frac{120}{v_a}$$ ч.

$$\frac{120}{v_a} = \frac{x}{150} + \frac{3}{5}$$ (2)

$$\frac{120}{v_a} = \frac{x + 90}{150}$$

$$v_a = \frac{18000}{x + 90}$$

Из (1):

$$\frac{x \cdot (x + 90)}{18000} - \frac{x}{75} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{x^2 + 90x}{18000} - \frac{x}{75} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{x^2 + 90x - 240x}{18000} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{x^2 - 150x}{18000} = \frac{3}{5}$$

$$5(x^2 - 150x) = 54000$$

$$x^2 - 150x = 10800$$

$$x^2 - 150x - 10800 = 0$$

$$D = 150^2 - 4 \cdot (-10800) = 22500 + 43200 = 65700$$

$$x_{1,2} = \frac{150 \pm \sqrt{65700}}{2} = \frac{150 \pm 10\sqrt{657}}{2} = 75 \pm 5\sqrt{657}$$

$$x_1 \approx 202,7$$ (не подходит)

$$x_2 \approx -52,7$$ (не подходит)

В задаче ошибка в условии.