Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он проехал половину пути из С в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение: Пусть расстояние от А до С равно (x) км. Пусть скорость автомобиля равна (v) км/ч. 1. Мотоциклист выехал через 20 минут, что составляет (\frac{20}{60} = \frac{1}{3}) часа. 2. Время, которое автомобиль ехал до города С: (\frac{x}{v}). 3. Время, которое мотоциклист ехал до города С: (\frac{x}{90}). 4. Так как мотоциклист выехал на (\frac{1}{3}) часа позже, то: \[\frac{x}{v} - \frac{x}{90} = \frac{1}{3}\] 5. Время, которое автомобиль ехал от города А до города В: (\frac{80}{v}). 6. Время, которое мотоциклист ехал от города С до половины пути СА: (\frac{x}{2 \cdot 90} = \frac{x}{180}). 7. Автомобиль прибыл в город В, когда мотоциклист проехал половину пути от города С до города А. Значит, время, которое ехал автомобиль от города С до города В, равно времени, которое ехал мотоциклист от города С до половины пути СА: \[\frac{80-x}{v} = \frac{x}{180}\] Решим систему уравнений: \[\begin{cases} \frac{x}{v} - \frac{x}{90} = \frac{1}{3} \\ \frac{80-x}{v} = \frac{x}{180} \end{cases}\] Из первого уравнения выразим (\frac{1}{v}): \[\frac{1}{v} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{90}\] Подставим это во второе уравнение: \[(80-x) \cdot (\frac{1}{3x} + \frac{1}{90}) = \frac{x}{180}\] \[\frac{80-x}{3x} + \frac{80-x}{90} = \frac{x}{180}\] Умножим обе части уравнения на 180x: \[60(80-x) + 2x(80-x) = x^2\] \[4800 - 60x + 160x - 2x^2 = x^2\] \[3x^2 - 100x - 4800 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-100)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4800) = 10000 + 57600 = 67600\] \[x_1 = \frac{100 + \sqrt{67600}}{6} = \frac{100 + 260}{6} = \frac{360}{6} = 60\] \[x_2 = \frac{100 - 260}{6} = \frac{-160}{6} < 0\] Так как расстояние не может быть отрицательным, то (x = 60) км. Ответ: 60 км