Расстояние между городами А и В равно 600 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 2 часа 30 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Решение:

Пусть \( v_{авт} \) — скорость автомобиля, а \( v_{мото} \) — скорость мотоциклиста.

Известно, что \( v_{мото} = 100 \) км/ч.

Время, через которое выехал мотоциклист: \( t_1 = 2 \) часа \( 30 \) минут \( = 2.5 \) часа.

Расстояние между городами А и В равно \( S_{AB} = 600 \) км.

Пусть \( t_{авт} \) — время движения автомобиля до города С, а \( t_{мото} \) — время движения мотоциклиста до города С.

Когда мотоциклист догнал автомобиль в городе С, они прошли одинаковое расстояние от города А.

Расстояние, которое проехал автомобиль за \( 2.5 \) часа: \( S_1 = v_{авт} \cdot t_1 \).

Расстояние от А до С равно \( S_{AC} = v_{авт} \cdot t_{авт} = v_{мото} \cdot t_{мото} \).

Мотоциклист догнал автомобиль, значит, время движения мотоциклиста до города С равно времени движения автомобиля после выезда мотоциклиста: \( t_{мото} = t_{авт} - t_1 \).

Тогда \( v_{авт} \cdot t_{авт} = 100 \cdot (t_{авт} - 2.5) \) \( \rightarrow \) \( v_{авт} \cdot t_{авт} = 100 t_{авт} - 250 \).

Когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Это значит, что автомобиль проехал всё расстояние \( S_{AB} = 600 \) км.

Время движения автомобиля до города В: \( t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{авт}} = \frac{600}{v_{авт}} \).

Время движения мотоциклиста до города С и обратно в город А равно времени движения автомобиля до города В: \( 2 · t_{мото} = t_{AB} \).

\( 2 · (t_{авт} - 2.5) = \frac{600}{v_{авт}} \)

\( 2 t_{авт} - 5 = \frac{600}{v_{авт}} \) \( \rightarrow \) \( v_{авт} = \frac{600}{2 t_{авт} - 5} \).

Подставим \( v_{авт} \) в уравнение \( v_{авт} \cdot t_{авт} = 100 t_{авт} - 250 \):

\( \frac{600}{2 t_{авт} - 5} \cdot t_{авт} = 100 t_{авт} - 250 \)

\( 600 t_{авт} = (100 t_{авт} - 250)(2 t_{авт} - 5) \)

\( 600 t_{авт} = 200 t_{авт}^2 - 500 t_{авт} - 500 t_{авт} + 1250 \)

\( 200 t_{авт}^2 - 1600 t_{авт} + 1250 = 0 \)

Разделим на 50: \( 4 t_{авт}^2 - 32 t_{авт} + 25 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-32)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 1024 - 400 = 624 \).

\( t_{авт} = \frac{32 ± √{624}}{8} = \frac{32 ± 4√{39}}{8} = 4 ± \frac{√{39}}{2} \).

Так как \( t_{авт} > 2.5 \), то \( t_{авт} ≈ 4 + ≈ 3.12 \) или \( t_{авт} ≈ 4 - 3.12 = 0.88 \). Условию \( t_{авт} > 2.5 \) удовлетворяет \( t_{авт} ≈ 4 + \frac{√{39}}{2} ≈ 7.12 \).

Найдем \( v_{авт} \): \( v_{авт} = \frac{600}{2 \cdot 7.12 - 5} = \frac{600}{14.24 - 5} = \frac{600}{9.24} ≈ 65 \) км/ч.

Расстояние от А до С: \( S_{AC} = v_{авт} · t_{авт} ≈ 65 \) км/ч \( · 7.12 \) ч \( ≈ 462.8 \) км.

Второй способ решения:

Пусть \( S_{AC} \) — расстояние от А до С. Тогда время движения автомобиля до С равно \( t_{AC} = \frac{S_{AC}}{v_{авт}} \).

Время движения мотоциклиста до С равно \( t_{мотоС} = \frac{S_{AC}}{100} \).

Время движения автомобиля от С до В равно \( t_{CB} = \frac{600 - S_{AC}}{v_{авт}} \).

Время движения мотоциклиста от С до А равно \( t_{мотоС} \).

Условие: автомобиль выехал из А, а мотоциклист через 2.5 часа.

Когда мотоциклист вернулся в А (проехав \( S_{AC} \) км), автомобиль прибыл в В (проехав \( 600 \) км).

Время движения мотоциклиста от С до А равно времени движения автомобиля от С до В: \( \frac{S_{AC}}{100} = \frac{600 - S_{AC}}{v_{авт}} \) \( \rightarrow \) \( v_{авт} = 100 \cdot \frac{600 - S_{AC}}{S_{AC}} \).

Автомобиль проехал \( S_{AC} \) км за время \( t_{AC} \). Мотоциклист проехал \( S_{AC} \) км за время \( t_{мотоС} = \frac{S_{AC}}{100} \).

\( t_{AC} = t_{мотоС} + 2.5 \) \( \rightarrow \) \( \frac{S_{AC}}{v_{авт}} = \frac{S_{AC}}{100} + 2.5 \).

Подставим \( v_{авт} \):

\( \frac{S_{AC}}{100 \cdot \frac{600 - S_{AC}}{S_{AC}}} = \frac{S_{AC}}{100} + 2.5 \)

\( \frac{S_{AC}^2}{100(600 - S_{AC})} = \frac{S_{AC} + 250}{100} \)

\( S_{AC}^2 = (S_{AC} + 250)(600 - S_{AC}) \)

\( S_{AC}^2 = 600 S_{AC} - S_{AC}^2 + 150000 - 250 S_{AC} \)

\( S_{AC}^2 = 350 S_{AC} + 150000 - S_{AC}^2 \)

\( 2 S_{AC}^2 - 350 S_{AC} - 150000 = 0 \)

Разделим на 2: \( S_{AC}^2 - 175 S_{AC} - 75000 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-175)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75000) = 30625 + 300000 = 330625 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{330625} = 575 \).

\( S_{AC} = \frac{175 ± 575}{2} \).

Так как расстояние должно быть положительным, берем плюс: \( S_{AC} = \frac{175 + 575}{2} = \frac{750}{2} = 375 \) км.

Проверка:

Если \( S_{AC} = 375 \) км, то \( v_{авт} = 100 \cdot \frac{600 - 375}{375} = 100 \cdot \frac{225}{375} = 100 \cdot 0.6 = 60 \) км/ч.

Время движения автомобиля до С: \( t_{AC} = \frac{375}{60} = 6.25 \) часа.

Время движения мотоциклиста до С: \( t_{мотоС} = \frac{375}{100} = 3.75 \) часа.

Разница во времени: \( 6.25 - 3.75 = 2.5 \) часа. Это совпадает с условием.

Время движения автомобиля до В: \( t_{AB} = \frac{600}{60} = 10 \) часов.

Время движения мотоциклиста от С до А: \( 3.75 \) часа. Время движения автомобиля от С до В: \( \frac{600 - 375}{60} = \frac{225}{60} = 3.75 \) часа. Это совпадает с условием.

Ответ: 375