Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Дано:

• Расстояние между городами А и В: $$S_{AB} = 720$$ км.
• Автомобиль выехал из А в В.
• Мотоциклист выехал из А в В через 3 часа после автомобиля.
• Скорость мотоциклиста: $$v_м = 100$$ км/ч.
• Мотоциклист догнал автомобиль в городе С.
• Мотоциклист повернул обратно из С в А.
• Когда мотоциклист вернулся в А, автомобиль прибыл в В.

Найти: Расстояние от А до С ($$S_{AC}$$) в км.

Решение:

1. Обозначим время движения автомобиля до встречи в точке С как $$t_а$$.
2. Время движения мотоциклиста до точки С будет $$t_м = t_а - 3$$ часа.
3. Расстояние, которое проехал мотоциклист до точки С: $$S_{AC} = v_м \times t_м = 100 \times (t_а - 3)$$.
4. Расстояние, которое проехал автомобиль до точки С: $$S_{AC} = v_а \times t_а$$.
5. Скорость автомобиля: Из равенства расстояний до точки С: $$100 \times (t_а - 3) = v_а \times t_а$$.
6. Общее время в пути для автомобиля: $$t_{автомобиля} = \frac{S_{AB}}{v_а} = \frac{720}{v_а}$$.
7. Время в пути для мотоциклиста: Мотоциклист проехал из А в С и обратно в А. Общее расстояние, которое проехал мотоциклист: $$2 \times S_{AC}$$. Его время в пути: $$t_{мотоциклиста} = \frac{2 \times S_{AC}}{v_м}$$.
8. Условие задачи: Когда мотоциклист вернулся в А (то есть, через $$t_{мотоциклиста}$$ времени), автомобиль прибыл в В. Это значит, что время движения автомобиля до В равно времени движения мотоциклиста до А.
9. Составим уравнение: $$t_{автомобиля} = t_{мотоциклиста}$$.
10. $$\frac{720}{v_а} = \frac{2 \times S_{AC}}{100}$$.
11. Подставим $$S_{AC} = v_а \times t_а$$: $$\frac{720}{v_а} = \frac{2 \times v_а \times t_а}{100}$$.
12. Также из $$100 \times (t_а - 3) = v_а \times t_а$$, выразим $$v_а = \frac{100(t_а - 3)}{t_а}$$.
13. Подставим $$v_а$$ во второе уравнение: $$\frac{720}{\frac{100(t_а - 3)}{t_а}} = \frac{2 \times \frac{100(t_а - 3)}{t_а} \times t_а}{100}$$.
14. $$\frac{720 \times t_а}{100(t_а - 3)} = \frac{200(t_а - 3)}{100}$$.
15. $$\frac{720 \times t_а}{100(t_а - 3)} = 2(t_а - 3)$$.
16. $$720 t_а = 200 (t_а - 3)^2$$.
17. $$360 t_а = 100 (t_а - 3)^2$$.
18. $$9 t_а = 25 (t_а - 3)^2$$.
19. $$9 t_а = 25 (t_а^2 - 6 t_а + 9)$$.
20. $$9 t_а = 25 t_а^2 - 150 t_а + 225$$.
21. $$25 t_а^2 - 159 t_а + 225 = 0$$.
22. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-159)^2 - 4 \times 25 \times 225 = 25281 - 22500 = 2781$$.
23. $$\sqrt{D} = \sqrt{2781} \approx 52.7$$.
24. $$t_а = \frac{159 \pm 52.7}{50}$$.
25. $$t_{а1} = \frac{159 + 52.7}{50} = \frac{211.7}{50} \approx 4.234$$ часа.
26. $$t_{а2} = \frac{159 - 52.7}{50} = \frac{106.3}{50} \approx 2.126$$ часа.
27. Так как мотоциклист выехал через 3 часа, время движения автомобиля должно быть больше 3 часов. Следовательно, $$t_а \thickapprox 4.234$$ часа.
28. Найдем скорость автомобиля: $$v_а = \frac{100(t_а - 3)}{t_а} = \frac{100(4.234 - 3)}{4.234} = \frac{100 \times 1.234}{4.234} \thickapprox \frac{123.4}{4.234} \thickapprox 29.14$$ км/ч.
29. Найдем расстояние от А до С: $$S_{AC} = v_а \times t_а = 29.14 \times 4.234 \thickapprox 123.4$$ км.

Альтернативное решение (с использованием времени мотоциклиста):

1. Пусть $$t$$ — время, которое мотоциклист потратил на путь из А в С.
2. Тогда время, которое автомобиль был в пути до встречи в С, равно $$t + 3$$.
3. Расстояние от А до С: $$S_{AC} = 100 \times t$$.
4. Скорость автомобиля: $$v_a = \frac{S_{AC}}{t+3} = \frac{100t}{t+3}$$.
5. Мотоциклист проехал $$2 \times S_{AC}$$ (туда и обратно) за время $$2t$$.
6. Автомобиль проехал $$S_{AB} = 720$$ км за время $$t_{общ}$$, которое равно времени движения мотоциклиста.
7. $$t_{общ} = \frac{720}{v_a} = \frac{720}{\frac{100t}{t+3}} = \frac{720(t+3)}{100t}$$.
8. Время движения мотоциклиста равно времени в пути автомобиля до В: $$2t = \frac{720(t+3)}{100t}$$.
9. $$200t^2 = 720(t+3)$$.
10. $$200t^2 = 720t + 2160$$.
11. $$200t^2 - 720t - 2160 = 0$$.
12. Разделим на 40: $$5t^2 - 18t - 54 = 0$$.
13. Найдем дискриминант: $$D = (-18)^2 - 4 \times 5 \times (-54) = 324 + 1080 = 1404$$.
14. $$\sqrt{D} = \sqrt{1404} \thickapprox 37.47$$.
15. $$t = \frac{18 \thickapprox 37.47}{10} = \frac{55.47}{10} \thickapprox 5.547$$ часа.
16. Расстояние от А до С: $$S_{AC} = 100 \times t = 100 \times 5.547 = 554.7$$ км.
17. Проверка:
18. $$t_a = t + 3 = 5.547 + 3 = 8.547$$ часа.
19. $$v_a = \frac{100t}{t+3} = \frac{100 \times 5.547}{8.547} \thickapprox \frac{554.7}{8.547} \thickapprox 64.9$$ км/ч.
20. Время движения автомобиля до В: $$\frac{720}{v_a} = \frac{720}{64.9} \thickapprox 11.09$$ часа.
21. Время движения мотоциклиста: $$2t = 2 \times 5.547 = 11.094$$ часа.
22. Время совпадает.

Ответ: 554.7