Расстояние между причалами 390 км. По течению реки пароход проходит это расстояние за 13 часов, а против течения - за 15 часов. Найдите собственную скорость парохода и скорость течения реки. За какое время расстояние между причалами проплывут плоты?

Решение:

Обозначим собственную скорость парохода как \( v_{п} \) км/ч, а скорость течения реки как \( v_{т} \) км/ч.

Скорость парохода по течению: \( v_{п} + v_{т} \).

Скорость парохода против течения: \( v_{п} - v_{т} \).

Расстояние равно 390 км.

По условию задачи составим систему уравнений:

1. По течению: \( (v_{п} + v_{т}) \cdot 13 = 390 \)
2. Против течения: \( (v_{п} - v_{т}) \cdot 15 = 390 \)

Упростим уравнения:

1. \( v_{п} + v_{т} = \frac{390}{13} = 30 \)
2. \( v_{п} - v_{т} = \frac{390}{15} = 26 \)

Теперь решим полученную систему уравнений методом сложения:

\( (v_{п} + v_{т}) + (v_{п} - v_{т}) = 30 + 26 \)

\( 2v_{п} = 56 \)

\( v_{п} = \frac{56}{2} = 28 \) км/ч — собственная скорость парохода.

Найдем скорость течения реки, подставив значение \( v_{п} \) в первое уравнение:

\( 28 + v_{т} = 30 \)

\( v_{т} = 30 - 28 = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

Скорость плотов равна скорости течения реки, так как плоты движутся по течению.

Скорость плотов: \( v_{пл} = v_{т} = 2 \) км/ч.

Найдем время, за которое плоты проплывут расстояние между причалами:

\( t_{пл} = \frac{S}{v_{пл}} = \frac{390}{2} = 195 \) часов.

Ответ: Собственная скорость парохода — 28 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч. Плоты проплывут расстояние между причалами за 195 часов.