Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим:
- \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч);
- \( v_т \) — скорость течения реки = 3 км/ч.
Тогда:
- Скорость лодки по течению: \( v_л + v_т = v_л + 3 \) (км/ч)
- Скорость лодки против течения: \( v_л - v_т = v_л - 3 \) (км/ч)
Расстояние между А и В равно 108 км.
Время, за которое плот проплыл 51 км:
\[ t_{плот} = \frac{51}{3} = 17 \text{ ч} \]Лодка отправилась через 2 часа после плота. Значит, время движения лодки:
\[ t_{лодка} = t_{плот} - 2 = 17 - 2 = 15 \text{ ч} \]За время движения лодки (15 часов) она проплыла туда и обратно расстояние 108 км * 2 = 216 км. Время в пути туда и обратно равно 15 часам.
Пусть \( t_{туда} \) — время движения лодки по течению, \( t_{обратно} \) — время движения против течения. Тогда:
\[ t_{туда} + t_{обратно} = 15 \text{ ч} \]Расстояние, пройденное лодкой по течению:
\[ S_{туда} = (v_л + 3) t_{туда} = 108 \text{ км} \]Расстояние, пройденное лодкой против течения:
\[ S_{обратно} = (v_л - 3) t_{обратно} = 108 \text{ км} \]Из этих уравнений выразим время:
\[ t_{туда} = \frac{108}{v_л + 3} \quad \text{и} \quad t_{обратно} = \frac{108}{v_л - 3} \]Подставим в уравнение времени движения лодки:
\[ \frac{108}{v_л + 3} + \frac{108}{v_л - 3} = 15 \]Разделим обе части уравнения на 3:
\[ \frac{36}{v_л + 3} + \frac{36}{v_л - 3} = 5 \]Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{36(v_л - 3) + 36(v_л + 3)}{(v_л + 3)(v_л - 3)} = 5 \]\[ \frac{36v_л - 108 + 36v_л + 108}{v_л^2 - 9} = 5 \]
\[ \frac{72v_л}{v_л^2 - 9} = 5 \]Перенесём всё в одну сторону:
\[ 72v_л = 5(v_л^2 - 9) \]\[ 72v_л = 5v_л^2 - 45 \]
\[ 5v_л^2 - 72v_л - 45 = 0 \]Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4(5)(-45) = 5184 + 900 = 6084 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]
Найдем корни:
\[ v_{л1} = \frac{72 + 78}{2 \times 5} = \frac{150}{10} = 15 \text{ км/ч} \]\[ v_{л2} = \frac{72 - 78}{2 \times 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \text{ км/ч} \]
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
Ответ: 15 км/ч.
