Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ - скорость яхты в неподвижной воде, а $$u$$ - скорость течения реки ($$u=3$$ км/ч).

Время движения плота до момента возвращения яхты в А: $$t_{плот} = rac{51}{u} = rac{51}{3} = 17$$ часов.

Время движения яхты: $$t_{яхта} = t_{плот} - 1 = 17 - 1 = 16$$ часов.

Расстояние, пройденное яхтой по течению: $$S_{по} = v + u$$.

Расстояние, пройденное яхтой против течения: $$S_{против} = v - u$$.

Общее расстояние, пройденное яхтой: $$140 + 140 = 280$$ км.

Уравнение движения яхты: $$(v+u) imes t_{по} + (v-u) imes t_{против} = 280$$.

Время движения яхты по течению: $$t_{по} = rac{140}{v+u}$$.

Время движения яхты против течения: $$t_{против} = rac{140}{v-u}$$.

Общее время движения яхты: $$rac{140}{v+u} + rac{140}{v-u} = 16$$.

Подставляем $$u=3$$: $$rac{140}{v+3} + rac{140}{v-3} = 16$$.

Упрощаем: $$rac{140(v-3) + 140(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 16 ightarrow rac{280v}{v^2-9} = 16 ightarrow 280v = 16v^2 - 144 ightarrow 16v^2 - 280v - 144 = 0 ightarrow 2v^2 - 35v - 18 = 0$$.

Решаем квадратное уравнение: $$v = rac{35 oon ext{sqrt}(35^2 - 4 imes 2 imes (-18))}{2 imes 2} = rac{35 oon ext{sqrt}(1225 + 144)}{4} = rac{35 oon ext{sqrt}(1369)}{4} = rac{35 oon 37}{4}$$.

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень: $$v = rac{35+37}{4} = rac{72}{4} = 18$$ км/ч.