Расстояние между пристанями А и В равно 144 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 18 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( S \) — расстояние между пристанями А и В, \( S = 144 \) км.
• \( v_п \) — скорость плота.
• \( v_я \) — скорость яхты в неподвижной воде.
• \( v_т \) — скорость течения реки, \( v_т = 1 \) км/ч.

1. Определим скорость плота.

Плот всё время двигался по течению реки. Его скорость равна скорости течения реки.

\( v_п = v_т = 1 \) км/ч.

2. Определим время, которое плот был в пути.

За время движения яхты плот проплыл 18 км. Используем формулу \( S = v · t \).

\( t_{плот} = \frac{S_{пройденная}}{v_п} = \frac{18 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 18 \) часов.

3. Определим время, которое яхта была в пути.

Яхта отправилась через 1 час после плота. Значит, время движения яхты на 1 час меньше времени движения плота.

\( t_{яхты} = t_{плот} - 1 \text{ час} = 18 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 17 \) часов.

4. Определим скорость яхты по течению и против течения.

Скорость яхты по течению: \( v_{по  теч} = v_я + v_т = v_я + 1 \) км/ч.

Скорость яхты против течения: \( v_{против  теч} = v_я - v_т = v_я - 1 \) км/ч.

5. Составим уравнение движения яхты.

Яхта проплыла расстояние от А до В (144 км) и обратно в А (144 км). Общее расстояние, пройденное яхтой, равно 144 км + 144 км = 288 км.

Время яхты в пути равно сумме времени движения по течению и против течения.

Время движения яхты по течению (из А в В): \( t_{вверх} = \frac{S}{v_{по  теч}} = \frac{144}{v_я + 1} \) часов.

Время движения яхты против течения (из В в А): \( t_{вниз} = \frac{S}{v_{против  теч}} = \frac{144}{v_я - 1} \) часов.

Общее время движения яхты:

\[ t_{яхты} = t_{вверх} + t_{вниз} \]

\[ 17 = \frac{144}{v_я + 1} + \frac{144}{v_я - 1} \]

6. Решим полученное уравнение.

Разделим обе части уравнения на 17:

\[ 1 = \frac{144}{17(v_я + 1)} + \frac{144}{17(v_я - 1)} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 1 = \frac{144(v_я - 1) + 144(v_я + 1)}{17(v_я + 1)(v_я - 1)} \]

\[ 17(v_я^2 - 1) = 144v_я - 144 + 144v_я + 144 \]

\[ 17v_я^2 - 17 = 288v_я \]

\[ 17v_я^2 - 288v_я - 17 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-288)^2 - 4 · 17 · (-17) = 82944 + 1156 = 84100 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{84100} = 290 \]

Найдем корни уравнения:

\[ v_{я1} = \frac{288 + 290}{2 · 17} = \frac{578}{34} = 17 \]

\[ v_{я2} = \frac{288 - 290}{2 · 17} = \frac{-2}{34} = -\frac{1}{17} \]

Скорость яхты не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит.

Скорость яхты в неподвижной воде равна 17 км/ч.

Проверка:

Время яхты по течению: \( \frac{144}{17 + 1} = \frac{144}{18} = 8 \) часов.

Время яхты против течения: \( \frac{144}{17 - 1} = \frac{144}{16} = 9 \) часов.

Общее время: \( 8 + 9 = 17 \) часов. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 17 км/ч.