Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт С, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч), а \( v_т = 5 \) км/ч — скорость течения реки.

1. Движение плота:

• Плот двигался по течению.
• Скорость плота равна скорости течения: \( v_п = v_т = 5 \) км/ч.
• Плот проплыл 15 км.
• Время движения плота: \( t_п = \frac{S_п}{v_п} = \frac{15 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 3 \) часа.

2. Движение лодки:

• Лодка отправилась через 1 час после плота.
• Общее время движения лодки от А до С и обратно до А равно времени движения плота: \( t_л = t_п = 3 \) часа.
• Время движения лодки от старта до возвращения в А = 3 часа.
• Время, которое лодка была в пути: 3 часа.
• Время, которое лодка потратила на путь от А до С (по течению): \( t_{А \to С} = t_л - 1 \text{ час} = 3 - 1 = 2 \) часа.
• Скорость лодки по течению: \( v_{А \to С} = v_л + v_т = v_л + 5 \) км/ч.
• Расстояние от А до С: \( S_{А \to С} = v_{А \to С} \cdot t_{А \to С} = (v_л + 5) \cdot 2 \) км.
• Лодка повернула обратно из С в А (против течения).
• Время движения лодки от С до А: \( t_{С \to А} = t_л - t_{А \to С} = 3 - 2 = 1 \) час.
• Скорость лодки против течения: \( v_{С \to А} = v_л - v_т = v_л - 5 \) км/ч.
• Расстояние от С до А: \( S_{С \to А} = v_{С \to А} \cdot t_{С \to А} = (v_л - 5) \cdot 1 \) км.

3. Составление уравнения:

• Расстояние от А до С равно расстоянию от С до А, так как лодка повернула обратно сразу после прибытия в пункт С.
• \( S_{А \to С} = S_{С \to А} \)
• \( (v_л + 5) \cdot 2 = (v_л - 5) \cdot 1 \)
• \( 2v_л + 10 = v_л - 5 \)
• \( 2v_л - v_л = -5 - 10 \)
• \( v_л = -15 \)

Примечание: Скорость не может быть отрицательной. Проверим условие. Если лодка прибыла в пункт С, а плот проплыл 15 км, значит, пункт С находится на некотором расстоянии от А. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Это означает, что пункт С находится где-то между А и В, или лодка достигла В и повернула обратно. Но в условии сказано, что плот проплыл 15 км, а лодка прибыла в пункт С. Если бы лодка доплыла до В (24 км), то плот за 3 часа проплыл бы 15 км. Значит, лодка прибыла в пункт С, который находится на расстоянии 15 км от А (так как плот проплыл 15 км за то же время, что лодка добралась до С и вернулась).

Пересмотр задачи:

• Время движения плота до момента, когда лодка вернулась в А: 3 часа.
• За это время плот проплыл 15 км. Значит, скорость плота (и течения) \( v_т = \frac{15 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 5 \) км/ч. Это совпадает с условием.
• Лодка отправилась через 1 час после плота.
• Время, которое лодка была в пути: 3 часа - 1 час = 2 часа.
• Лодка плыла по течению от А до С, а затем обратно от С до А.
• Пусть \( v_л \) - скорость лодки в неподвижной воде.
• Скорость лодки по течению: \( v_л + 5 \).
• Скорость лодки против течения: \( v_л - 5 \).
• Расстояние от А до С равно расстоянию от С до А.
• Время в пути = 2 часа.
• Пусть \( t_1 \) - время движения лодки по течению (А до С), \( t_2 \) - время движения против течения (С до А). \( t_1 + t_2 = 2 \).
• Расстояние \( S = (v_л + 5) t_1 \) и \( S = (v_л - 5) t_2 \).
• \( (v_л + 5) t_1 = (v_л - 5) t_2 \).
• Мы знаем, что когда лодка вернулась в А, плот проплыл 15 км.
• Это значит, что пункт С находится на расстоянии 15 км от А (поскольку плот плывет со скоростью течения).
• Значит, \( S = 15 \) км.
• Время движения лодки по течению: \( t_1 = \frac{S}{v_л + 5} = \frac{15}{v_л + 5} \).
• Время движения лодки против течения: \( t_2 = \frac{S}{v_л - 5} = \frac{15}{v_л - 5} \).
• \( t_1 + t_2 = 2 \)
• \( \frac{15}{v_л + 5} + \frac{15}{v_л - 5} = 2 \)
• Умножим обе части на \( (v_л + 5)(v_л - 5) = v_л^2 - 25 \) (при условии \( v_л > 5 \)):
• \( 15(v_л - 5) + 15(v_л + 5) = 2(v_л^2 - 25) \)
• \( 15v_л - 75 + 15v_л + 75 = 2v_л^2 - 50 \)
• \( 30v_л = 2v_л^2 - 50 \)
• \( 2v_л^2 - 30v_л - 50 = 0 \)
• Разделим на 2:
• \( v_л^2 - 15v_л - 25 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение: \( v_л = \frac{-b - - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
• \( v_л = \frac{15 - - \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} \)
• \( v_л = \frac{15 - - \sqrt{225 + 100}}{2} \)
• \( v_л = \frac{15 - - \sqrt{325}}{2} \)
• \( \sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13} \)
• \( v_л = \frac{15 - - 5\sqrt{13}}{2} \)
• Так как скорость лодки должна быть положительной и больше скорости течения (чтобы вернуться), выбираем положительный корень:
• \( v_л = \frac{15 + 5\sqrt{13}}{2} \) км/ч.
• Приближенное значение: \( -\sqrt{13} - 3.6 \)
• \( v_л - \frac{15 + 5 - 3.6}{2} = \frac{15 + 18}{2} = \frac{33}{2} = 16.5 \) км/ч.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна \( \frac{15 + 5\sqrt{13}}{2} \) км/ч.