Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим:

• $$V_я$$ - скорость яхты в неподвижной воде (км/ч)


• $$V_т$$ - скорость течения реки = 2 км/ч


• $$S$$ - расстояние между пристанями А и В = 80 км

1. Движение плота:

• Плот плывет со скоростью течения: $$V_п = V_т = 2$$ км/ч.


• За время движения яхты (туда и обратно) плот прошел 22 км.


• Время движения плота до возвращения яхты в А: $$t_п = \frac{22}{2} = 11$$ часов.

2. Движение яхты:

• Яхта отправилась через 2 часа после плота.


• Общее время в пути для яхты: $$t_я = t_п - 2 = 11 - 2 = 9$$ часов.


• Время движения яхты по течению (из А в В): $$t_{я, туда} = \frac{S}{V_я + V_т} = \frac{80}{V_я + 2}$$ часов.


• Время движения яхты против течения (из В в А): $$t_{я, обратно} = \frac{S}{V_я - V_т} = \frac{80}{V_я - 2}$$ часов.


• Суммарное время движения яхты: $$t_{я, туда} + t_{я, обратно} = t_я$$.


• \(\frac{80}{V_я + 2} + \frac{80}{V_я - 2} = 9\)

3. Решение уравнения:

• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{80(V_я - 2) + 80(V_я + 2)}{(V_я + 2)(V_я - 2)} = 9\)


• \(\frac{80V_я - 160 + 80V_я + 160}{V_я^2 - 4} = 9\)


• \(\frac{160V_я}{V_я^2 - 4} = 9\)


• \(160V_я = 9(V_я^2 - 4)\)


• \(160V_я = 9V_я^2 - 36\)


• \(9V_я^2 - 160V_я - 36 = 0\)

4. Находим корни квадратного уравнения (используем дискриминант):

• $$D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4(9)(-36) = 25600 + 1296 = 26896$$


• \(\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164\)


• \(V_{я1} = \frac{160 + 164}{2 \times 9} = \frac{324}{18} = 18\)


• \(V_{я2} = \frac{160 - 164}{2 \times 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\)

5. Выбор ответа:

• Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$V_я = 18$$ км/ч.

Ответ: 18 км/ч