Расстояние между пунктами А и Б равно 77 км. Из пункта А в Б по реке одновременно отправились плот и моторная лодка. Моторная лодка прибыла в пункт Б, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Составим математическую модель задачи.

Пусть:

• S – расстояние между пунктами А и Б, S = 77 км.
• V_теч – скорость течения реки, V_теч = 4 км/ч.
• V_плота – скорость плота, V_плота = V_теч = 4 км/ч.
• S_плота – расстояние, которое проплыл плот, S_плота = 36 км.
• t – время в пути плота и лодки.
• V_лодки – скорость лодки в неподвижной воде.

Плот двигается только по течению реки, поэтому:

$$t = \frac{S_{плота}}{V_{плота}} = \frac{36 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 9 \text{ ч}$$

Лодка прошла путь из пункта А в пункт Б (по течению) и из пункта Б в пункт А (против течения) за то же время t.

Путь лодки по течению:

$$S = (V_{лодки} + V_{теч}) \cdot t_1$$

Путь лодки против течения:

$$S_1 = (V_{лодки} - V_{теч}) \cdot t_2$$

Общее время в пути лодки:

$$t = t_1 + t_2$$

Выразим $$t_1$$ и $$t_2$$ через известные величины:

$$t_1 = \frac{S}{V_{лодки} + V_{теч}} = \frac{77}{V_{лодки} + 4}$$

$$t_2 = \frac{S_1}{V_{лодки} - V_{теч}} = \frac{S_1}{V_{лодки} - 4}$$

Подставим в уравнение общего времени:

$$9 = \frac{77}{V_{лодки} + 4} + \frac{S_1}{V_{лодки} - 4}$$

Выразим $$S_1$$

$$S_1 = 9 \cdot (V_{лодки} - 4) - \frac{77 \cdot (V_{лодки} - 4)}{V_{лодки} + 4}$$

$$S_1 = \frac{9 \cdot (V_{лодки}^2 - 16) - 77 \cdot (V_{лодки} - 4)}{V_{лодки} + 4}$$

Так как лодка доплыла до пункта А, то есть вернулась в начальную точку, то

$$S_1 = S - (V_{лодки} - V_{теч}) \cdot t_2 $$

$$S_1 = 77 - (V_{лодки} - 4) \cdot t_2$$

Подставим в уравнение общего времени:

$$9 = \frac{77}{V_{лодки} + 4} + \frac{77 - (V_{лодки} - 4) \cdot t_2}{V_{лодки} - 4}$$

Сократим на 77:

$$1 = \frac{1}{V_{лодки} + 4} + \frac{1 - (V_{лодки} - 4) \cdot t_2}{V_{лодки} - 4}$$

$$V_{лодки}^2 - 16 = V_{лодки} - 4 + V_{лодки} + 4 - (V_{лодки}^2 - 8V_{лодки} + 16) \cdot t_2$$

$$V_{лодки}^2 - 2V_{лодки} - 16 = -(V_{лодки}^2 - 8V_{лодки} + 16) \cdot t_2$$

$$V_{лодки}^2 - 2V_{лодки} - 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68$$

$$V_{лодки} = \frac{2 \pm \sqrt{68}}{2} = 1 \pm \sqrt{17}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то:

$$V_{лодки} = 1 + \sqrt{17} \approx 5.12 \text{ км/ч}$$

Решим задачу другим способом.

Пусть t1 - время, за которое лодка доплыла от пункта А до пункта Б, t2 - время, за которое лодка доплыла от пункта Б до пункта А.

За время t1 лодка проплыла 77 км по течению, а плот проплыл 4*t1 км.

За время t2 лодка проплыла 77 км против течения, а плот проплыл 4*t2 км.

Итого, плот проплыл 36 км за время t1+t2, то есть 4*(t1+t2) = 36, откуда t1+t2 = 9.

Получаем систему уравнений:

$$(V_{лодки} + 4)*t1 = 77$$

$$(V_{лодки} - 4)*t2 = 77$$

$$t1 + t2 = 9$$

Выразим t1 и t2 через V_лодки:

$$t1 = 77 / (V_{лодки} + 4)$$

$$t2 = 77 / (V_{лодки} - 4)$$

Подставим в третье уравнение:

$$77 / (V_{лодки} + 4) + 77 / (V_{лодки} - 4) = 9$$

$$77*(V_{лодки} - 4) + 77*(V_{лодки} + 4) = 9*(V_{лодки}^2 - 16)$$

$$77*V_{лодки} - 308 + 77*V_{лодки} + 308 = 9*V_{лодки}^2 - 144$$

$$154*V_{лодки} = 9*V_{лодки}^2 - 144$$

$$9*V_{лодки}^2 - 154*V_{лодки} - 144 = 0$$

$$D = 154^2 - 4*9*(-144) = 23716 + 5184 = 28900 = 170^2$$

$$V_{лодки} = (154 + 170) / 18 = 324 / 18 = 18$$

Второй корень отрицательный, поэтому не подходит.

Ответ: 18 км/ч