15. Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение: Пусть (v) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки (u = 4) км/ч. 1. **Время движения плота:** Плот двигался все время, пока лодка шла туда и обратно. Пусть (t) - время движения плота (в часах). Тогда расстояние, которое проплыл плот, равно (ut = 32) км. Значит, (4t = 32), откуда (t = 8) часов. 2. **Время движения лодки:** Лодка вышла на час позже плота, поэтому время ее движения туда и обратно равно (t - 1 = 8 - 1 = 7) часов. 3. **Скорость лодки по течению и против течения:** Скорость лодки по течению равна (v + u = v + 4) км/ч. Скорость лодки против течения равна (v - u = v - 4) км/ч. 4. **Расстояние, пройденное лодкой:** Время движения лодки по течению до пункта В равно (rac{45}{v + 4}) часов. Время движения лодки против течения из пункта В в пункт А равно (rac{45}{v - 4}) часов. Суммарное время движения лодки равно 7 часам: \[rac{45}{v + 4} + rac{45}{v - 4} = 7\] 5. **Решение уравнения:** Умножим обе части уравнения на ((v + 4)(v - 4)): \[45(v - 4) + 45(v + 4) = 7(v^2 - 16)\] \[45v - 180 + 45v + 180 = 7v^2 - 112\] \[90v = 7v^2 - 112\] \[7v^2 - 90v - 112 = 0\] 6. **Решаем квадратное уравнение:** Используем квадратное уравнение для нахождения v: \[v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[v = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 - 4 cdot 7 cdot (-112)}}{2 cdot 7}\] \[v = \frac{90 \pm \sqrt{8100 + 3136}}{14}\] \[v = \frac{90 \pm \sqrt{11236}}{14}\] \[v = \frac{90 \pm 106}{14}\] Получаем два возможных значения для (v): \[v_1 = \frac{90 + 106}{14} = \frac{196}{14} = 14\] \[v_2 = \frac{90 - 106}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}\] Так как скорость не может быть отрицательной, то (v = 14) км/ч. **Ответ: 14 км/ч**