Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим время движения плота.
  Плот двигался по течению реки. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 4 км/ч. Плот проплыл 32 км. Время движения плота: \( t_{\text{плот}} = \frac{S}{v_{\text{течения}}} = \frac{32 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 8 \text{ часов} \).
• Шаг 2: Определим время движения лодки.
  Лодка отправилась через час после плота и вернулась в пункт А к моменту, когда плот проплыл 32 км. Значит, лодка была в пути на 1 час меньше, чем плот. Время движения лодки: \( t_{\text{лодка}} = t_{\text{плот}} - 1 \text{ час} = 8 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 7 \text{ часов} \).
• Шаг 3: Определим расстояние, пройденное лодкой по течению и против течения.
  Расстояние между пунктами А и В равно 45 км. Лодка проплыла от А до В (по течению) и обратно от В до А (против течения). Общее расстояние, пройденное лодкой, равно \( 2 \times 45 \text{ км} = 90 \text{ км} \).
• Шаг 4: Найдем скорость лодки по течению.
  Пусть \( v_{\text{лодка}} \) — скорость лодки в неподвижной воде, а \( v_{\text{течения}} = 4 \text{ км/ч} \) — скорость течения. Скорость лодки по течению: \( v_{\text{по течению}} = v_{\text{лодка}} + v_{\text{течения}} \). Время в пути по течению: \( t_{\text{по течению}} = \frac{45 \text{ км}}{v_{\text{лодка}} + 4 \text{ км/ч}} \).
• Шаг 5: Найдем скорость лодки против течения.
  Скорость лодки против течения: \( v_{\text{против течения}} = v_{\text{лодка}} - v_{\text{течения}} \). Время в пути против течения: \( t_{\text{против течения}} = \frac{45 \text{ км}}{v_{\text{лодка}} - 4 \text{ км/ч}} \).
• Шаг 6: Составим и решим уравнение.
  Общее время движения лодки: \( t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 7 \text{ часов} \).
  \( \frac{45}{v_{\text{лодка}} + 4} + \frac{45}{v_{\text{лодка}} - 4} = 7 \).
  Умножим обе части уравнения на \( (v_{\text{лодка}} + 4)(v_{\text{лодка}} - 4) \):
  \( 45(v_{\text{лодка}} - 4) + 45(v_{\text{лодка}} + 4) = 7(v_{\text{лодка}}^2 - 16) \).
  \( 45v_{\text{лодка}} - 180 + 45v_{\text{лодка}} + 180 = 7v_{\text{лодка}}^2 - 112 \).
  \( 90v_{\text{лодка}} = 7v_{\text{лодка}}^2 - 112 \).
  Перенесем все в одну сторону:
  \( 7v_{\text{лодка}}^2 - 90v_{\text{лодка}} - 112 = 0 \).
• Шаг 7: Решим квадратное уравнение.
  Используем формулу для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
  В нашем случае \( a=7, b=-90, c=-112 \).
  Дискриминант \( D = (-90)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-112) = 8100 + 3136 = 11236 \).
  \( \sqrt{D} = \sqrt{11236} = 106 \).
  \( v_{\text{лодка}} = \frac{90 \pm 106}{2 \cdot 7} \).
  Два возможных корня:
  \( v_1 = \frac{90 + 106}{14} = \frac{196}{14} = 14 \text{ км/ч} \).
  \( v_2 = \frac{90 - 106}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7} \text{ км/ч} \).
• Шаг 8: Выберем верный ответ.
  Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень. Скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч