Расстояние между пунктами А и В по реке равно 60 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние между А и В: 60 км.
• Скорость течения реки (v_теч): 5 км/ч.
• Плот отправился из А в В.
• Лодка отправилась из А через 1 час после плота.
• Лодка прибыла в В, повернула обратно и вернулась в А.
• К моменту возвращения лодки в А, плот проплыл 30 км.
• Найти: Скорость лодки в неподвижной воде (v_лодки) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем время движения плота.
   Плот проплыл 30 км со скоростью течения реки (так как плот движется по течению).
   Время движения плота (t_плота) = Расстояние / Скорость течения.
   \[ t_{плота} = \frac{30 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч} \]
2. Шаг 2: Определяем время движения лодки.
   Лодка отправилась на 1 час позже плота и вернулась в момент, когда плот был в пути 6 часов. Следовательно, общее время в пути лодки составило 6 часов - 1 час = 5 часов.
3. Шаг 3: Определяем скорость лодки по течению и против течения.
   Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x км/ч.
   Скорость лодки по течению: \( v_{по течению} = x + v_{теч} = x + 5 \) км/ч.
   Скорость лодки против течения: \( v_{против течения} = x - v_{теч} = x - 5 \) км/ч.
4. Шаг 4: Составляем уравнение для пути лодки.
   Лодка проплыла расстояние от А до В (60 км) по течению и обратно от В до А (60 км) против течения. Общее время в пути лодки — 5 часов.
   \[ \frac{60}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 5 \]
5. Шаг 5: Решаем уравнение.
   Приведем к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \):
   \[ \frac{60(x - 5) + 60(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5 \]
   \[ \frac{60x - 300 + 60x + 300}{x^2 - 25} = 5 \]
   \[ \frac{120x}{x^2 - 25} = 5 \]
   Переносим 5 в левую часть или умножаем обе части на \( x^2 - 25 \) (при условии \( x
   eq 5 \) и \( x
   eq -5 \)):
   \[ 120x = 5(x^2 - 25) \]
   \[ 120x = 5x^2 - 125 \]
   Переносим все в одну сторону, получаем квадратное уравнение:
   \[ 5x^2 - 120x - 125 = 0 \]
   Делим на 5:
   \[ x^2 - 24x - 25 = 0 \]
6. Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения.
   Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) или теорему Виета.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 24 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -25 \).
   Подбираем корни: \( x_1 = 25 \) и \( x_2 = -1 \).
7. Шаг 7: Выбираем подходящий корень.
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 25 \) км/ч.

Ответ: 25 км/ч