Расстояние от точки А(2,3,-1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно ...

Решение:

Для нахождения расстояния от точки \( A(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) используется формула:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

В данном случае:

• Точка \( A = (2, 3, -1) \), значит \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 3 \), \( z_0 = -1 \).
• Плоскость задана уравнением \( 2x - y + 3z = 2 \). Приведём к виду \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \( 2x - y + 3z - 2 = 0 \).
• Коэффициенты плоскости: \( A = 2 \), \( B = -1 \), \( C = 3 \), \( D = -2 \).

Подставим значения в формулу:

\[ d = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} \]\[ d = \frac{|4 - 3 - 3 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} \]\[ d = \frac{|-4|}{\sqrt{14}} \]\[ d = \frac{4}{\sqrt{14}} \]

Варианты ответа:

• \( \frac{4}{\sqrt{14}} \)
• \( \frac{2}{\sqrt{14}} \)
• \( \frac{-4}{\sqrt{15}} \)

Ответ: \( \frac{4}{\sqrt{14}} \).