741. Расстояние от точки $$A$$ до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку $$A$$, является секущей по отношению к данной окружности.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$r$$ - радиус окружности, и $$A$$ - точка, расстояние от которой до центра окружности меньше радиуса, т.е. $$OA < r$$. Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку $$A$$. Обозначим расстояние от центра окружности $$O$$ до этой прямой как $$d$$. Если $$d < OA$$, то $$d < r$$, следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках и, таким образом, является секущей. Если $$d = OA$$, то $$d < r$$, следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках и является секущей. Если $$d > OA$$, то мы не можем однозначно утверждать, что $$d > r$$. Однако, рассмотрим другой подход. Предположим, что прямая, проходящая через $$A$$, не является секущей, т.е., либо не пересекает окружность ($$d > r$$), либо касается окружности ($$d = r$$). Если прямая касается окружности в точке $$T$$, то $$OT perp AT$$. В этом случае $$OT = r$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OTA$$, где $$OA$$ - гипотенуза. Так как $$OA < r = OT$$, мы приходим к противоречию, поскольку гипотенуза должна быть больше катета. Если прямая не пересекает окружность, то $$d > r > OA$$. Проведём перпендикуляр $$OH$$ из точки $$O$$ на прямую. Тогда $$OH = d$$. Рассмотрим треугольник $$OHA$$. В этом треугольнике $$OA > AH$$ и $$OH > r$$, но также $$r > OA$$, что невозможно. Таким образом, любая прямая, проходящая через точку $$A$$, должна пересекать окружность в двух точках, т.е. быть секущей. **Доказательство:** Предположим, что существует прямая $$l$$, проходящая через точку $$A$$, которая не является секущей. Это означает, что либо $$l$$ не пересекает окружность, либо касается её. 1. Если $$l$$ не пересекает окружность, то расстояние от центра окружности $$O$$ до прямой $$l$$ больше радиуса $$r$$, т.е. $$d(O, l) > r$$. Но мы знаем, что $$OA < r$$, где $$A$$ - точка на прямой $$l$$. Это приводит к противоречию, так как расстояние от точки $$O$$ до прямой $$l$$ должно быть меньше, чем расстояние от $$O$$ до любой точки на этой прямой, особенно до $$A$$. 2. Если $$l$$ касается окружности в точке $$T$$, то $$OT perp l$$, и $$OT = r$$. Тогда $$OA < r = OT$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OTA$$ (если $$A eq T$$). В этом треугольнике $$OT$$ - катет, a $$OA$$ - гипотенуза. Но гипотенуза $$OA$$ должна быть больше катета $$OT$$, что противоречит условию $$OA < r = OT$$. Если $$A = T$$, то $$OA = r$$, что также противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и любая прямая, проходящая через точку $$A$$, должна быть секущей.