Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см.

Пусть О - центр треугольника АВС, тогда МО - перпендикуляр к плоскости АВС, и является искомым расстоянием.

Так как M равноудалена от вершин треугольника АВС, то O - центр описанной окружности вокруг треугольника АВС.

Выразим радиус описанной окружности R через сторону правильного треугольника а: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. По теореме Пифагора:

$$MO = \sqrt{AM^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ: 2 см