23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 3√2, а одна из диагоналей ромба равна 12√2. Найди углы ромба. В ответ запиши получившиеся значения в порядке возрастания без пробелов через «;». Например: 10;10;170;170

Решение:

Пусть дан ромб ABCD, O - точка пересечения диагоналей, OK - расстояние от точки O до стороны AD, то есть OK - высота в треугольнике AOD. AC = 12√2, OK = 3√2.

1) Рассмотрим треугольник AOD. Он прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. OK - высота, проведенная к гипотенузе AD. Площадь треугольника AOD можно найти двумя способами:

$$S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OK$$

Выразим OD:

$$OD = \frac{AD \cdot OK}{AO}$$

$$AO = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Подставим:

$$OD = \frac{AD \cdot 3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{AD}{2}$$

2) Рассмотрим треугольник AOD. По теореме Пифагора:

$$AO^2 + OD^2 = AD^2$$

$$(6\sqrt{2})^2 + (\frac{AD}{2})^2 = AD^2$$

$$72 + \frac{AD^2}{4} = AD^2$$

$$72 = \frac{3AD^2}{4}$$

$$AD^2 = \frac{72 \cdot 4}{3} = 24 \cdot 4 = 96$$

$$AD = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$$

3) Найдем OD:

$$OD = \frac{AD}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$$

4) Найдем тангенс угла OAD:

$$tg(\angle OAD) = \frac{OD}{AO} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Значит, угол OAD = 30°. Тогда угол BAD = 2 \cdot 30° = 60°.

5) Найдем угол ADC:

Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то угол ADC = 180° - 60° = 120°.

Углы ромба: 60°, 120°, 60°, 120°.

В ответ запишем значения в порядке возрастания: 60;120

Ответ: 60;120