Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.

Пусть ABCD - квадрат, а точка O - центр этого квадрата. Расстояние от точки A до каждой вершины квадрата равно a, и сторона квадрата равна b. Нужно найти расстояние от точки A до плоскости квадрата, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость квадрата.

1. AO - это расстояние от точки A до центра квадрата. Диагональ квадрата равна $$b\sqrt{2}$$, следовательно, половина диагонали (AO) равна $$\frac{b\sqrt{2}}{2}$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой A, центром квадрата O и одной из вершин квадрата (например, A). В этом треугольнике AO = $$\frac{b\sqrt{2}}{2}$$, а расстояние от точки A до вершины (например, A) равно a.

3. Пусть h - расстояние от точки A до плоскости квадрата (высота перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость квадрата). Тогда можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это расстояние от точки A до вершины квадрата (a), один катет - расстояние от точки A до центра квадрата (AO), а другой катет - это искомое расстояние h.

4. По теореме Пифагора: $$a^2 = h^2 + \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

5. Решим уравнение относительно h: $$h^2 = a^2 - \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2b^2}{4} = a^2 - \frac{b^2}{2}$$

6. Таким образом, $$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}}$$.

Ответ: $$\sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}}$$