3. Рациональное неравенств 1 2 3 4 5 6 7 8 Список заданий Условие задания: Реши данное неравенство, используя метод интервалов: 3x 12 –––––––– - ––– ≥ 1. 2x-5 x Выбери правильный вариант: Οπ∈ (-∞;0] U [2,5; 4] ∪ [15; +∞) Ox∈ (-∞;0) U [2,5; 4] U [15; +∞) Οπ€ (-∞; 0) U (2,5; 4] U [15; +∞) Ox∈ [0; 2,5] U [4; 15] Οτ∈ (0; 2,5) U [4; 15]

Рассмотрим данное неравенство и решим его методом интервалов.

$$ \frac{3x}{2x-5} - \frac{12}{x} \geq 1 $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ \frac{3x}{2x-5} - \frac{12}{x} - 1 \geq 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{3x^2 - 12(2x-5) - x(2x-5)}{x(2x-5)} \geq 0 $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ \frac{3x^2 - 24x + 60 - 2x^2 + 5x}{x(2x-5)} \geq 0 $$

$$ \frac{x^2 - 19x + 60}{x(2x-5)} \geq 0 $$

Найдем корни числителя:

$$ x^2 - 19x + 60 = 0 $$

$$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 361 - 240 = 121 $$

$$ x_1 = \frac{19 + \sqrt{121}}{2} = \frac{19 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$

$$ x_2 = \frac{19 - \sqrt{121}}{2} = \frac{19 - 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$

Знаменатель обращается в нуль при:

$$ x = 0 $$

$$ 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = 2.5 $$

Теперь у нас есть точки: 0, 2.5, 4, 15. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

     +        -         +         -         +
----(0)----(2.5)----(4)-----(15)-----> x

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (с учетом, что в точках 0 и 2.5 функция не определена):

$$ x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; 4] \cup [15; +\infty) $$

Ответ: x∈ (-∞; 0) U (2,5; 4] U [15; +∞)