Рациональный корень Дано уравнение Найдите сумму корней уравнения. -5 √5 -5-5√5 5+√5 Найдите рациональный корень уравнения. Пропустить

Решение:

Дано квадратное уравнение $$x^2+5(1+\sqrt{5})x+25\sqrt{5} = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = (5(1+\sqrt{5}))^2 - 4\cdot 1 \cdot 25\sqrt{5} = 25(1+2\sqrt{5}+5) - 100\sqrt{5} = 25(6+2\sqrt{5}) - 100\sqrt{5} = 150+50\sqrt{5} - 100\sqrt{5} = 150 - 50\sqrt{5} = 50(3-\sqrt{5})$$

Вычислим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-5(1+\sqrt{5}) + \sqrt{50(3-\sqrt{5})}}{2}$$, $$x_2 = \frac{-5(1+\sqrt{5}) - \sqrt{50(3-\sqrt{5})}}{2}$$

Сумма корней квадратного уравнения по теореме Виета равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком:

$$x_1 + x_2 = -5(1+\sqrt{5}) = -5-5\sqrt{5}$$

Найдем рациональный корень. Т.к. дискриминант не является полным квадратом, то корни иррациональные, следовательно, рациональных корней нет.

Ответ: рациональных корней нет.