Равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

1. Обозначим:
   - меньшее основание \( a = 3 \)
   - большее основание \( b = 7 \)
   - угол при большем основании \( \alpha = 45^{\circ} \)
   - высоту трапеции \( h \)
   - боковую сторону \( c \)
2. Найдём высоту трапеции:
   Опустим из вершин меньшего основания (A, B) высоты на большее основание (CD). Получим прямоугольные треугольники (например, ADE и BCF, где CD - большее основание).
   Основание \( a = 3 \), значит, отрезок EF = 3.
   Отрезки DE и CF равны: \( DE = CF = \frac{b - a}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
   В прямоугольном треугольнике ADE угол D равен \( 45^{\circ} \). Так как один из острых углов равен \( 45^{\circ} \), то и второй острый угол равен \( 45^{\circ} \) (\( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \)). Следовательно, треугольник ADE равнобедренный, и его катеты равны: \( h = DE = 2 \).
3. Найдём площадь трапеции:
   Формула площади трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \).
   Подставим известные значения: \( S = \frac{3 + 7}{2} \cdot 2 \).
   \( S = \frac{10}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10 \).

Ответ: Площадь трапеции равна 10.