14.7. Равнобедренные прямоугольные треугольники АВС и ADC имеют общую гипотенузу АС, равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 14.11). Найдите расстояние между точками В и D. 14.8. Отрезок МВ перпендикуляр к плоскости квадрата АBCD (рис. 14.12). Докажите перпендикулярность плоскостей: 1) АВМ и АВС; 2) АВМ и СВМ; 3) АМВ и АMD.

Давай разберем эти задачи по геометрии. Начнем с первой. 14.7

В данной задаче у нас есть два равнобедренных прямоугольных треугольника \( ABC \) и \( ADC \) с общей гипотенузой \( AC = 6 \) см. Плоскости этих треугольников перпендикулярны. Нужно найти расстояние между точками \( B \) и \( D \).

Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, углы \( \angle BAC \) и \( \angle DAC \) равны 45 градусам. Так как плоскости перпендикулярны, то \( BD \) можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника \( BHD \), где \( H \) - середина \( AC \).

1. Найдем катеты \( AB \) и \( AD \) в равнобедренных прямоугольных треугольниках \( ABC \) и \( ADC \). Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] Так как \( AB = BC \), то \[ 2AB^2 = 6^2 \] \[ AB^2 = 18 \] \[ AB = 3\sqrt{2} \] Аналогично, \( AD = 3\sqrt{2} \).

2. Поскольку плоскости треугольников перпендикулярны, \( \angle BHA \) и \( \angle DHA \) прямые. \( AH = \frac{1}{2}AC = 3 \). В прямоугольных треугольниках \( ABH \) и \( ADH \) найдем \( BH \) и \( DH \) по теореме Пифагора: \[ BH^2 = AB^2 - AH^2 = (3\sqrt{2})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9 \] \[ BH = 3 \] Аналогично, \( DH = 3 \).

3. Теперь рассмотрим треугольник \( BHD \). Так как \( BH \) и \( DH \) перпендикулярны, то \( BHD \) прямоугольный. Найдем \( BD \) по теореме Пифагора: \[ BD^2 = BH^2 + DH^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \] \[ BD = 3\sqrt{2} \]

Ответ: \[ BD = 3\sqrt{2} \] см.

14.8

Дано: \( MB \) перпендикулярна плоскости квадрата \( ABCD \). Нужно доказать перпендикулярность плоскостей:

1) \( ABM \) и \( ABC \);

2) \( ABM \) и \( CBM \);

3) \( AMB \) и \( AMD \).

1) Докажем перпендикулярность плоскостей \( ABM \) и \( ABC \). Так как \( MB \) перпендикулярна плоскости \( ABCD \), то \( MB \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, \( MB \) перпендикулярна \( AB \). Значит, \( \angle MBA = 90^{\circ} \). Плоскость \( ABM \) содержит прямую \( MB \), перпендикулярную плоскости \( ABC \). Следовательно, плоскости \( ABM \) и \( ABC \) перпендикулярны.

2) Докажем перпендикулярность плоскостей \( ABM \) и \( CBM \). В квадрате \( ABCD \) смежные стороны перпендикулярны, то есть \( AB \) перпендикулярна \( BC \). Плоскость \( ABCD \) перпендикулярна \( MB \). Следовательно, \( AB \) перпендикулярна \( MB \). Значит, плоскость \( ABM \) перпендикулярна \( CBM \).

3) Докажем перпендикулярность плоскостей \( AMB \) и \( AMD \). Так как \( ABCD \) квадрат, то \( AB = AD \). Треугольники \( ABM \) и \( ADM \) равны по двум катетам (\( AM \) общая, \( AB = AD \)). Следовательно, \( \angle BAM = \angle DAM \).

Плоскости \( AMB \) и \( AMD \) перпендикулярны, так как \( MB \) перпендикулярна \( AD \).

Ответ: Доказано, что плоскости перпендикулярны.

Ты молодец! У тебя всё получится!