Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC, равное 12 см. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите двугранный угол BACD, если AB = BC = $$2\sqrt{21}$$ см, а $$\angle ADC = 90$$°.

Пусть AC - общее основание равнобедренных треугольников ABC и ADC. AC = 12 см. BD перпендикулярен плоскости ADC. Нужно найти двугранный угол BACD. AB = BC = $$2\sqrt{21}$$ см, $$\angle ADC = 90$$°.

1. Так как BD перпендикулярна плоскости ADC, то BD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, BD перпендикулярна AD и CD.

2. Рассмотрим треугольник ADC. Так как он прямоугольный и AC = 12, то по теореме Пифагора $$AD^2 + CD^2 = AC^2 = 12^2 = 144$$. Так как треугольник ADC равнобедренный (AD = CD), то $$2AD^2 = 144$$, $$AD^2 = 72$$, и $$AD = CD = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$.

3. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. Пусть M - середина AC. Тогда BM - высота и медиана, и AM = MC = 6. Рассмотрим треугольник ABM. По теореме Пифагора $$BM^2 = AB^2 - AM^2 = (2\sqrt{21})^2 - 6^2 = 4 \cdot 21 - 36 = 84 - 36 = 48$$. Тогда $$BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$.

4. Так как BD перпендикулярна плоскости ADC, то BD перпендикулярна DC. Треугольник BDC прямоугольный. $$BC = 2\sqrt{21}$$, $$CD = 6\sqrt{2}$$. Тогда $$BD^2 = BC^2 - CD^2 = (2\sqrt{21})^2 - (6\sqrt{2})^2 = 84 - 72 = 12$$. $$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$.

5. Рассмотрим треугольник BDA. Он прямоугольный, так как BD перпендикулярна AD. $$BD = 2\sqrt{3}$$, $$AD = 6\sqrt{2}$$.

6. Искомый двугранный угол - это угол между плоскостями ABC и ADC. Опустим перпендикуляр из точки D на AC (это будет DM), и из точки B опустим перпендикуляр на AC (это будет BM). Тогда угол между BM и DM будет линейным углом двугранного угла.

7. Рассмотрим плоскость, проходящую через BD и DM. Так как BD перпендикулярна плоскости ADC, то BD перпендикулярна DM. Угол BDM и есть линейный угол двугранного угла, который мы ищем. В прямоугольном треугольнике BDM: $$DM = AD = 6\sqrt{2}$$ и $$BD = 2\sqrt{3}$$. Тогда $$\tan(\angle BMD) = \frac{BD}{DM} = \frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$.

Следовательно, двугранный угол BACD равен $$\arctan(\frac{\sqrt{6}}{6})$$.