Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что DO=OC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ADC и BCD. Они равнобедренные с общим основанием DC.


2. Поскольку треугольник ADC равнобедренный, то углы DAC и DCA равны. Аналогично, в треугольнике BCD углы DBC и DCB равны.


3. Рассмотрим треугольник ABC. Так как треугольники ADC и BCD равнобедренные, то AC = AD и BC = BD.


4. Пусть углы DAC = DCA = α и углы DBC = DCB = β.


5. Тогда угол ACB = DCA + DCB = α + β, а угол ADB = DAC + DBC = α + β. Таким образом, углы ACB и ADB равны.


6. Рассмотрим треугольники ACO и BDO. Угол AOC = углу BOD (как вертикальные). AC = BD (из пунктов 3 и 4). Угол CAO = углу DBO (т.к. углы DAC = DBC).


7. Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).


8. Из равенства треугольников ACO и BDO следует, что CO = DO.

Что и требовалось доказать: DO = OC