Равнобедренный и прямоугольный треугольники. Используя данные чертежа, найдите ∠ABC.

Разбираем задачу

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой. У нас есть треугольник ABC, и нужно найти угол ABC. Нам дали некоторые подсказки на чертеже:

• Треугольник ABC.
• BH — высота, проведенная к основанию AC, её длина 7,2.
• Боковая сторона BC равна 14,4.
• Две черточки на сторонах AB и BC означают, что эти стороны равны. Значит, треугольник ABC — равнобедренный.
• Точка H лежит на основании AC, и BH перпендикулярно AC (угол BHA = 90°).

Что делать?

1. Так как у нас равнобедренный треугольник, высота BH является также и медианой. Это значит, что она делит основание AC пополам: AH = HC.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Мы знаем длину гипотенузы (BC = 14,4) и одного из катетов (BH = 7,2).
3. Чтобы найти угол ABC, нам нужно сначала найти угол HBC. В прямоугольном треугольнике BHC синус угла HBC равен отношению противолежащего катета (HC) к гипотенузе (BC).
4. Нам нужно найти HC. По теореме Пифагора в треугольнике BHC: \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \)
5. Подставим известные значения: \( 14,4^2 = 7,2^2 + HC^2 \)
6. \( 207,36 = 51,84 + HC^2 \)
7. \( HC^2 = 207,36 - 51,84 = 155,52 \)
8. \( HC = \sqrt{155,52} \approx 12,47 \)
9. Теперь найдем синус угла HBC: \( \sin(\angle HBC) = \frac{HC}{BC} = \frac{\sqrt{155,52}}{14,4} \approx \frac{12,47}{14,4} \approx 0,866 \)
10. Угол, синус которого равен 0,866, это 60 градусов. То есть \( \angle HBC = 60^{\circ} \).
11. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BH также является биссектрисой угла ABC. Это значит, что угол ABC равен удвоенному углу HBC.
12. \( \angle ABC = 2 \cdot \angle HBC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

А вот и решение попроще!

Посмотри на прямоугольный треугольник BHC. Мы знаем, что катет BH (7,2) равен половине гипотенузы BC (14,4). В прямоугольном треугольнике, если один катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусам.

То есть \( \angle BCH = 30^{\circ} \). А угол, прилежащий к этому катету, \( \angle HBC \) будет равен \( 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BH делит угол ABC пополам. Значит:

\( \angle ABC = 2 \cdot \angle HBC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: 120