Равнобедренный треугольник ABC (AC = BC) вписан в окружность с центром O. Известно, что AB = 18, DO = 12, где D — основание перпендикуляра из O на AB. Найдите радиус окружности.

Решение:

Так как треугольник ABC равнобедренный и вписан в окружность, то центр окружности O лежит на высоте CD (или её продолжении). Высота CD также является медианой, поэтому D — середина AB.

По условию, \( AB = 18 \) и \( DO = 12 \). Поскольку D — середина AB, то \( AD = DB = \frac{18}{2} = 9 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( А DO \). Его катеты равны \( AD = 9 \) и \( DO = 12 \). Гипотенуза AO является радиусом окружности (R).

По теореме Пифагора:

\( AO^2 = AD^2 + DO^2 \)

\[ R^2 = 9^2 + 12^2 \]

\[ R^2 = 81 + 144 \]

\[ R^2 = 225 \]

\[ R = √{225} \]

\[ R = 15 \]

Ответ: 15.