Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. (Задача 566 учебника.)

Решение:

Когда равнобедренный треугольник вращается вокруг своего основания, получается тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.

1. Радиус общего основания конусов: Это высота треугольника, проведенная к основанию. Обозначим ее h. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Если боковая сторона равна m, а угол при основании φ, то половина основания равна m * cos(φ). Высота h = m * sin(φ).
2. Площадь боковой поверхности каждого конуса: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S = π * R * L, где R — радиус основания, L — длина образующей (в нашем случае это боковая сторона треугольника, т.е. m).
3. Общая площадь поверхности тела: Так как тело состоит из двух конусов с общей площадью основания, то площадь поверхности будет суммой площадей боковых поверхностей двух конусов.

Площадь боковой поверхности одного конуса:

Поскольку тело состоит из двух таких конусов (один вращается в одну сторону, другой - в другую), но они имеют общее основание, то площадь поверхности будет равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов, где радиусом основания является высота треугольника, а образующей - боковая сторона.

Суммарная площадь поверхности тела:

Ответ: 2 * π * m^2 * sin(φ)