Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности.

В равнобокой трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания равны $$a=2$$ и $$b=8$$. Тогда сумма боковых сторон равна $$2+8=10$$. Так как трапеция равнобокая, каждая боковая сторона равна $$10/2=5$$. Высота трапеции, вписанной в окружность, равна диаметру этой окружности. Опустим высоту из вершины B на основание AD, обозначим точку пересечения N. В прямоугольном треугольнике ABN, гипотенуза AB=5. Основание AN = (AD - BC)/2 = (8-2)/2 = 3. По теореме Пифагора, высота BN = $$\sqrt{AB^2 - AN^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$$. Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции, то есть 4. Радиус вписанной окружности равен половине диаметра, то есть $$4/2=2$$.