348. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен 56°. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, вписанная в окружность с центром O, лежащим на основании AD. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен 56°, то есть ∠BOC = 56°. 1. Т.к. трапеция равнобокая и вписана в окружность, она является равнобедренной. Центр окружности лежит на основании AD, значит AD – диаметр окружности, а ∠ABD = ∠ACD = 90° (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр). 2. Т.к. трапеция равнобокая, ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠BCD. Также, ∠BOC = 56°. 3. Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, т.к. BO = OC (как радиусы окружности). Значит, ∠OBC = ∠OCB = (180° - 56°) / 2 = 124° / 2 = 62°. 4. Так как AD - диаметр, то угол ∠AOD=180°. Угол ∠BOC = 56°, то дуга BC содержит 56°. Т.к. трапеция равнобокая, то дуги AB и CD равны. Соответственно ∠BOA = ∠COD = (180°-56°) / 2 = 62°. 5. ∠ABO = ∠BAO = (180° - 62°) / 2 = 59° 6. ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 59° + 62° = 121° 7. ∠BCD = ∠ABC = 121° (так как трапеция равнобокая) 8. ∠BAD = ∠CDA = 180° - ∠ABC = 180° - 121° = 59° (как углы прилежащие к боковой стороне трапеции). Ответ: ∠BAD = ∠CDA = 59°, ∠ABC = ∠BCD = 121°