равностороннего треугольника, одна вершина которого совпадает с вершиной квадрата, а две другие лежат на его сторонах.

\(\)

• Пусть сторона квадрата равна 1.
• Пусть сторона треугольника равна x.
• Обозначим катет прямоугольного треугольника как a.
• Тогда:

\[a = 1 - x\]

• Рассмотрим прямоугольный треугольник.
• Выразим сторону x (гипотенузу) по теореме Пифагора:

\[x^2 = (1-x)^2 + 1^2\]

\[x^2 = 1 - 2x + x^2 + 1\]

\[0 = 2 - 2x\]

\[2x = 2\]

\[x = 1\]

\[x = \sqrt{2}\]

• Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный стороной квадрата, стороной треугольника и отрезком стороны квадрата.
• Пусть этот отрезок равен y.
• Тогда по теореме Пифагора:

\[y^2 + y^2 = 1^2\]

\[2y^2 = 1\]

\[y^2 = \frac{1}{2}\]

\[y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

• Теперь найдем сторону равностороннего треугольника (x):

\[x = 1 - 2 \cdot y\]

\[x = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x = 1 - \sqrt{2}\]

• Неправильно.
• Решение через углы.
• Угол между стороной квадрата и стороной треугольника:

\[90 - 60 = 30\]

• Выразим катет (a) через угол и гипотенузу:

\[a = x \cdot cos(30)\]

\[a = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• Тогда:

\[1 = x \cdot cos(30) + x + x \cdot cos(30)\]

\[1 = x + 2 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[1 = x(1 + \sqrt{3})\]

\[x = \frac{1}{1+\sqrt{3}}\]

\[x = \frac{1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\]

\[x = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3}\]

\[x = \frac{1-\sqrt{3}}{-2}\]

\[x = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\]

• Неправильно.
• По теореме косинусов.
• Нам известны две стороны квадрата и угол между ними:

\[1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(150) = x^2\]

\[2 - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = x^2\]

\[2 + \sqrt{3} = x^2\]

\[x = \sqrt{2+\sqrt{3}}\]

• Опять не то.
• Верный ответ: