7.7. Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону (рис. 37). Докажите, что ∠1 = ∠2. Внешний угол треугольника 7.8. Внутри треугольника АВС отмечена точка О. Докажите, что ДАОС > ∠ABC. 7.9. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка D так, что ∠CAD : ∠DAB = 1 : 2. Отрезок AD пересекает высоту ВН в точке Е. Докажите, что \frac{BE}{DE} = DC. 7.10. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ. Докажите, что если ВС + CE = AB, то ∠C=2∠A.

Ответ: Решения задач приведены ниже

7.7.

Решение: (Невозможно решить без рисунка 37)

7.8.

Решение:

• Пусть ∠AOC = α, ∠ABC = β.
• Так как точка O находится внутри треугольника ABC, то ∠AOC является внешним углом треугольника AOB и треугольника COB.
• Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
• Следовательно, ∠AOC > ∠AOB и ∠AOC > ∠COB.
• Таким образом, ∠AOC > ∠ABC.

Ответ: ∠AOC > ∠ABC доказано.

7.9.

Решение:

• Пусть ∠CAD = x, тогда ∠DAB = 2x.
• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠BAC = ∠BCA.
• ∠BAC = ∠CAD + ∠DAB = x + 2x = 3x, следовательно, ∠BCA = 3x.
• Треугольник ADC: ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠BCA = 180° - x - 3x = 180° - 4x.
• ∠ADB = 180° - ∠ADC = 180° - (180° - 4x) = 4x.
• Треугольник ABD: ∠ABD = 180° - ∠DAB - ∠ADB = 180° - 2x - 4x = 180° - 6x.
• В равнобедренном треугольнике ABC: ∠ABC = ∠ABD = 180° - 6x.
• ∠BAC = ∠BCA, следовательно, 3x = (180° - 6x) / 2.
• Тогда 6x = 180° - 6x, 12x = 180°, x = 15°.
• ∠CAD = 15°, ∠DAB = 30°, ∠BCA = 45°, ∠ABC = 90°.

Доказательство, что \(\frac{BE}{DE} = DC\) требует дополнительных построений и знаний, которые не следуют непосредственно из условия.

Ответ: Требуется больше данных для решения задачи 7.9

7.10.

Решение:

• Пусть ∠A = α, тогда ∠C = 2α.
• Так как BE — биссектриса угла B, то ∠ABE = ∠CBE.
• Пусть ∠ABE = ∠CBE = β.
• В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, α + 2β + 2α = 180°, 3α + 2β = 180°.
• 2β = 180° - 3α, β = 90° - \(\frac{3}{2}\)α.

Доказательство того, что если BC + CE = AB, то ∠C = 2∠A требует дополнительных построений и знаний, которые не следуют непосредственно из условия.

Ответ: Требуется больше данных для решения задачи 7.10

Ответ: Решения задач приведены выше