Равные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0: 0,(9) = 0,999… = 1,000… = 1; 16,1(9) = 16,1999… = 16,2000… = 16,2. Объясните, почему эти равенства верны.

Бесконечная десятичная дробь с периодом 9 равна следующему числу с конечной десятичной записью:

\(0,(9)=0,999\ldots=1,000\ldots=1\).

Аналогично,

\(16,1(9)=16,1999\ldots=16,2000\ldots=16,2\).

Следовательно, периодическая запись с цифрой 9 является другой записью дроби с периодом 0.

Ответ: \(0,(9)=1\), \(16,1(9)=16,2\).