Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что AO : OB = CO : OD = 2 : 1. Докажите, что ΔAOD = ΔCOB.

Так как AO : OB = 2 : 1, обозначим AO = 2x, тогда OB = x.

Аналогично, из условия CO : OD = 2 : 1 получаем: CO = 2y, OD = y.

По условию отрезки AB и CD равны:

\[AB = CD\]

Подставим выражения длин:

\[AO + OB = CO + OD\]

\[2x + x = 2y + y\]

\[3x = 3y\]

Следовательно, x = y. Поэтому:

\[AO = CO, \qquad OB = OD.\]

Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) — вертикальные, значит:

\[\angle AOD = \angle COB.\]

Итак, в треугольниках \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\) равны две стороны и угол между ними:

\[AO = CO, \quad OD = OB, \quad \angle AOD = \angle COB.\]

Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: \(\triangle AOD = \triangle COB\).